SUR LA RÉDUCTION EN FRACTION CONTINUE D'UNE FRACTION

0„ est donc un polynôme du premier degré a,/j?-|- p„ et Û;, un polynôme du second degré; je ferai P,, = i . Soit p le coefficient de x'^ dans Q„ ; l'équation (i) montre que p^ est le coefficient de x dans R/i et, en égalant à zéro le coefficient de x'*'^^ dans le premier membre de l'identité (3), on obtient l'équation

la racine p = /i, comme on le prouve aisément, est à rejeter : on

a donc

et û„ est de la forme — {'in -i- i)x'-{- OnX -h hn.

On lire de la relation (5) T^^ -; et, la relation (4) montrant que Q/ï+i est la partie entière du quotient de T„j?' par Q„^.i — Q„, on en déduit

L'idenlilé (2) donne alors les relations

(6) (2/1 ■+■ 3)?«+i = a,i Hif(2/i-f-2)^/„ — (2/î -f-4)a„^,]

(7) bn-i-i-h ^« = (<:;«-+.i--a/*)[(2/i-!-4)a«-»-i— (2/i-+-2)a,i|.

Enfin, de l'identité (2) on déduit les relations suivantes

(8) a„an-^i = aj— 2(/i-i- i)6„— I,

(9) a,|3„H,-4- 3,ia,i-H, = 'xanbn— o.g,

(10) ^n%^,= bl-g^

et

R^ = (/i -1- 1)2^7 — 2(/i -h Oa^.

Cela posé, on voit que, si Ton connaît les valeurs de a„, [3;,, a,i et 6/1, les valeurs de ^njf.\ d de p,,^, pourront se tirer des formules (8) et (10); la formule (6) permettra ensuite de calculer «n+o ^^ la formule (7), bn^^* On saura donc calculer, de proche en proche

YtH CALCUL INTÉGRAL. — SUR LA RÉDUCTION EN FRACTION CONTINUE.

et par voie récurrente, les polynômes Q,,, dont la valeur est don-

née par la formule

Q/»= — (:F-i-rt;,— a^-i),

puis les dénominateurs et les numérateurs des réduites par les formules

?n-Hl — Q/*?/»-H ?/»-! = O.