COUPURES DES FONCTIONS

Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, l. XCIX; 1884.

Considérons l'intégrale double

F(.)= frf(-^y^^> dxdy

dont le champ est une aire A que, pour fixer les idées, je supposerai simple et 011 /(^% J', s) et g{oc^y) désignent des fonctions réelles qui, quel que soit g, sont finies et bien déterminées dans le champ d^intégration.

Si, pour certaines valeurs de 5, la courbe g{x^y) = z traverse le champ d'intégration, l'intégrale devient infinie, et la fonction F(<3), en général finie et déterminée, a pour coupure une portion K de l'axe des x.

Soit AF la difi\'rence des valeurs de la fonction aux deux bords de la coupure, en sorte que, z désignant une des valeurs réelles pour lesquelles F{z) est discontinu et X une quantité infiniment petite positive, on ait

AF = F(5-4-X0 — F(^ — Xi);

en employant la méthode donnée par M. Hermite dans le cas des intégrales simples, un calcul facile donne l'expression suivante de cette diflérence

•■Il •-

où^ doit être remplacé par sa valeur tirée de l'équation

si l'on considère la courbe représentée par cette équation, l'inlé-

grale s'élcnd tout le long de la portion de celle courbe qui est comprise dans le c)iamp d'intégration, et le facleii élre pris positivement.

Soit, comme application, la fonction

tf-y^^,y)

qni, pour h=\, se réduit à la fonction hypergéométriqne F(a,?,«,x).

Sous les conditions a > o, fi > o. « > «, /^ > ?, on a

)--a-'73-'(i-j-)*-3-'rfr./y

i-(«iiTir) ""■ ?•-■''-'■

La fonction G est ainsi délïnie pour tous les points du plan, sauf sur une coupure K allant du point + i au point + x. Le long de cette coupure, on a

oùy doit être remplacé ]}ar — ; lité précédente devient

*a-p-i Ç fb-^-.

-i[l(,— -),]»-Prf,,

j„^6,^i-(,ii-"(yi

ïca'-"{« — l)"->*-«-p->F{6 — a. A — p, a + A-a p, ,i). tfqnct'On 0. l»i':^<|u'on la prolonge d'une façon con-