Soii

Ao (:r - { ;« -4- Bo O' - r. )« h- Co( 5 - ; )*

2X'o(y'-r,){z^^)-^2\V,(Z-ti)(x-i)-^2(V,{T-'^)(x-T,)=l

réquation de la surface extérieure du second ellipsoïde, en sorte que

désignent les projections sur les trois axes de la dislance des centres des deux corps.

J'appellerai Vq son volume, et, en supposant que sa masse est composée de couches homogènes concentriques et homothétiques à la surface extérieure, en sorte que, sur la couche limitée par la surface,

Ao(:r — 0' -H Bo(^ - r,r- -+- C,(z - ;)«

-+-2A'o(j'-rj(;5-;)-H'^.n;(;;-;)(.r— $)-h'>.Ci(:r~5)(j- — r,)= À«,

la densité soity"o(î^*'*), j** poserai

f fo{l)d\ = Fo(/o).

Je désigne par lly, fA«o, i'i>o, ^o? -^i» ^''>'oj ^o '^* quantités analogues à 11, 4.>, . . ., mais relatives au second ellipsoïde ; ainsi

î2o = AoBoCo -^ 2 A', h;, c; - Ao a;* - HoB,» - CoC;-* , , BoCo-a;^

' VOQ = » ' ' ' t

j'appelle enfin A^ la quantité

-h •?. f r,l)y sin o -t- 2 / illï'o cos © — i Cy ïiin 3) cos cp .

3. Cela posé, le potentiel P des deux corps est détermina par la relation suivante :

P = aYX^ f^' f^' f'"" V(f)V,(f,)dff/f,f/o

•^■^•^ J i .', .'o '; f'O^'f -^ **Ti '^in^ -h ;— /y^-^ ' V^ÂÔ

su 11 LE rOTKNTIKL DK \)VA\ KI.LIPSOIDKS. 'jS?

Cette formule suppose JJ >> o; ëi I^ = o, rinté'»rale qui est dans le second membre n'a plus de sens; pour une valeur négative de IJ, la formule donne une valeur égale et de signe contraire à celle du

po

tentiel.

4. Si les deux corps sont de révolution, A et Aq sont des carrés parfaits; l'expression précédente se réduit alors à la forme beaucoup plus simple

P= 9VV0 r r r ^'^J^^Al^i^'/.!^^'^.

011 a, fi, Y, 7.0, poy Y« désignent des quantités constantes; ce que l'on peut encore écrire

= îiyVo /•■"* r^' Vit)F(f,)fitfif,

S. Dans le cas où les elli|)soïdes sont homogènes, en appelant respectivement co et coq leurs densités, on a

Dans le cas où les ellipsoïdes se réduisent à deux couches infiniment minces, supposons que, lorsque t varie de o à i — £, la densité soit nulle et qu'elle soit égale à co quand t varie de (i — £) à I, en supposant £ infiniment petit, on a

V(t) — ItOl

et, de même,

le potentiel a donc pour expression

j, 9}' V„ toc.),) SSo

-4-1 -H I ^2:r fitdt,fh

Il est facile de voir que toutes les dérivées secondes de P, prises par rapport aux variables ;, Tj, Z sont des fonctions algébricpics de ces variables et dos cocf(icienls des écpiations des surlares (les ellipsoïdes.

CALCUL INTEOHAL.

On a, par exemple,

41 ^îir

2/ rose» dtdiodo

coso

er, sino -+- Ç — l ^1 — to V^^*)'

OU, en eirccliiant les inléfçralions relatives à ^ et à £©•

d^V f)\\o WWy Eîj,

icoso( /çcosç -f- iTj sinîp H- î)^?

expression qui, comme on le sait, est une fonction algébrique des coeHicienls de la quantité placée sous le signe / •

Il en résulte «pie chacune des trois dérivées premières de P

dV dV dV 7/r ^r/ <

s'obtiendra en intégrant une fonction algébrique.

6. L'expression du potentiel, donnée ci-dessus, conduit aisément à son développement suivant les puissances de

Kn développant la quantité sous le signe /suivant les puissances

décroissantes de

on a

=^si:/ / /

f : ros -i -r- ir. si ii es -r- Z

^^■'' ^7^f^l^f^^^^^/^^ f^^/^^^Uf/tf/t^f/r;^

( / : ros ^ -r- ir, siii 5 -t- ^ )"^'

Il est à remarquer <pie. 1*\/') étant une fonction paire de / cl i'\/o) "ïH* fonction paire «le f^, les intégrales

sont nulles lor>«pic ;jl est un nombre impair.