SUR LK POTENTIEL DE DEUX ELLIPSOÏDES
Le terme f;;énéral du développement de V sera donc, à un facteur numéri(|ue près,
r^i ç-^i r''''YjJ)yih^t^-\-t^/Î^Y'^dtdtodo^
(i\ cosç -h tTj sincp -+- Ç )*""*■*
en elTectuant les intégrations par rapport à ^ et à /q, on devra laisser de côté, dans le développement du numérateur, tous les termes qui renferment des puissances impaires de t et de t^^ en sorte que ce terme peut se mettre sous^la forme suivante
<!»( sinîp, cos9)^(p
lu
( 1*5 C05 0 -H it, si II 'f -h î )*'* * ^
oïl <l> dési;»ne une fonction entière de sin'^ et de cos',5.
Une telle intégrale peut s'exprimer au moyen des dérivées par tielles par rapport à ç, r, et w <le
y/l'-^r^-^rh
on peut encore l'obtenir en développant le numérateur et la fonction
( i^ coso -H «T, sincp + Ç)*«-n
suivant les sinus et cosinus des multiples de Tangle cp.
Le développement de cette fonction a été donné par Jacobi.
7. Les résultats résumés dans celte Noie s'obtiennent de la façon la plus simple, en décomposant les ellipsoïdes considérés en tranches infiniment minces comprises entre deux plans infiniment voisins parallèles au plan
( I ) ix cos c^ -h i^' sin <p -+- >3 = o.
Ces plans sont évidemment imaginaires, et il semblerait d'abord c|ue cette décom[)osilion ne présente aucun sens; mais il résulte des principes posés pur M. Ilermite dans sa théorie des coupures des intégrales définies que, si Ton effectue les calculs en donnant
4^»0 CALCUL IXTKGRAL.
à / une valeur réelle, les résultats obtenus sont encore valables en
faisant
i = yj — I .
J'ajouterai une dernière remarque pour montrer comment le théorème de Maelaurin résulte aisément, non seulement du résultat linal du calcul, mais-encore de la marche même suivie pour effectuer les intégrations.
Tous les plans parallèles au plan (i) sont des plans isotropes et, pour déterminer les limites des intégrations relatives à ^ et à /oi il suffit de déterminer ceux de ces plans qui sont tangents à chacun des ellipsoïdes.
Comme îp prend toutes les valeurs possibles de o à 2t:, on a donc a considérer tous les plans isotropes qui louchent chacune des surfaces; deux surfaces homofocales du second ordre touchant les mêmes plans isotropes, il en résulte immédiatement que le potentiel n'est modifié que par l'introduction d'un facteur conslant, lorsqu'on remplace un des ellipsoïdes par un ellipsoïde ho m o focal.
Ainsi qu'il est facile de le vérifier, Texpression A a la même valeur lorsque l'on considère plusieurs ellipsoïdes homofocaux.
SliR UN MÉMOIRE DE LAGLERRE
COXCEHNANT
LES EQUATIONS ALGÉBRIQUES;
Par Ciiarlrs HKRMITE.
En ctudiant le beau Mémoire qui a paru clans les Nouvelles Annales de Mathématiques, a*' série, l. XIX, i88o, sous le litre : Sur une méthode pour obtenir^ par approximation, les racines d^une équation alf^ébrique qui a toutes les racines réelles (*), j'ai été amené à établir les résultats auxquels Laguerre {'^) est parvenu sur ce sujet important par une méthode diUérentede la sienne et plus directe. C'est l'objet des considérations qui vont suivre :
I. Soit /(x) = o une équation de degré n dont les racines, r/, b, . . .j /, soient toutes réelles. J'envisage la somme symétrique
^- ^^.a)« "^ (x-b)^ -+-...-+-- ^^îyt '
où Ç et ç' sont également des quantités réelles, et je remarque qu'on en obtient facilement l'expression, si Ton décompose chacun de ses termes en fractions simples, par rapport à la quantité «, en écrivant, par exemple,
Il suffit, en effet, de recourir aux relations
n-fr I 1 I
(•) Voir p. 87.
(') Edmond Lagucrre, sa vie et ses travaux y par M. Kiiffènc llouché, Exarninatcur de sortie à l'Ecole Polytechnique, Professeur au Conservatoire des Arts et Métiers (Journal de l'/i'cole Polytechnique, LVI" Cahier; i88^i).
.'|0j CHARLES IIBIIXITI;.
pour Irouvcr lu valeur stiivanle :
Cela étant, j'obsnrvc f|iron ne peut avoir S ==• o, qu^autaot que les numérateurs, (; — a) (;'— «), ($ — 6)($'— 6), ... ne seront pas tous de même signe. Il est donc nécessaire, d'après les propriétés du trinôme du second degré, qu'une partie des raisons, rt, 6, . . ., se trouve dans Tinlervalle compris entre \ et Ç\ et les autres en dehors de cet intervalle. Par là est établie la proposition ainsi énoncée par Lagucrre :
Si ron désigne par x une quantité réelle quelconque, les nombres Ç et Ç' qui satisfont à la relation
et dont l'un est arbitraire^ séparent les racines de V équation
Je suppose maintenant qu'on fasse Ç = $' dans la somme S, qui devient ainsi
et je considère l'équation suivante du second degré en X :
Il est clair que le premier membre est positif pour X = a, 6, . . . , / et prend une valeur négative très grande pour X voisin de x. Admettant donc que x tombe dans Tintcrvalle de deux racines consécutives, (jue je désigne par a et 6, en supposant « << 6, le premier membre de l'équalion considérée ayant des valeurs de signes contraires quand on fait successivement X = «r, X =^ x, puis X = j:*, X = ^, on voit que les racines, X', X", sont comprises, Tune entre a et .r, l'aulre entre x et b.
Ce point établi, Lngucrrc recherche, en disposant de la quan- \\\v ;, (|ui rsl arbilrairo, les valeurs de X' et X" qui se rappruclioronl le plus de a il b\ voici ennimcnril procède.
SUR UN MKMOIRE DE LAOUERRE. 4^)3
