II. Reprenons r('(|nali()n

en employant J'exprcssioii de S lorsqu'on y suppose $=:;', à sarvoir

elle peut s eerire ainsi :

($-:r)M/'*-//0^2($-^)//'-/i/^-(il^/y=o.

(^ela étant, Lagiicrrc se borne à dire succinctement que les imletirs extrêmes de X s'obtiendront en exprimant que le trinôme du second degré en Ç, qui forme le premier nombre, a ses racines égales. On regrettera, sans doute, que Péminent géomètre ne se soit pas étendu davantage sur ce point essentiel, et qu'on n'ait pas sunisamment la trace des idées qui Tont conduit à la découverte d'un résultat important, dont il a fait des ap|)lications nombreuses et extrêmement remarquables Mais l'équation en X, à laquelle il parvient, peut être étudiée en elle-même, indépendamment du procédé qui y a conduit : c'est ce que je vais faire en me proposant ainsi d'établir direclement sa propriété caractéristique.

Soit, pour un moment, $ — x = ^; le premier membre de l'équation précédente devient

c'est une expression du second degré, en s-, de la forme

et la condition d'égalité des racines est

I>* — AC -F An* — x Bmn -h C/n* = o ; de là résulle l'équation que nous avons à considérer

[( n - -X )/'2 - {n - I )//«!( X - xy - ,//' {\-T)- n/^ -. o.

Cela étant, je dis (pic son premier membre prend une valeur

|(/| CIIAKLES IIEIIMITE.

positive lorsqiron y roniplace X par une quelconque des racines de Téquation /{jc) = o. Soit a celte racine; je divise par le facteur positif ^r>. » ce qui donne l'expression

cela étant, je mets en évidence les quantités

T — a .r — h jr — /

en employant les relations

Désignons, dans ce but, par U, V, W la somme des n — i (piantités B, C, . . . , L, la somme de leurs carrés et celle de leurs produits deux à deux. On aura ainsi

eU en substituant, nous trouverons

,„ »^^ aî kV-^ 2 Al - »\V. -:*. w i ,, Al — W)

- M A* -- Al > — /* A^ ^,(n—>)\— > W.

(7e>l bien une ipiantilé pi^sitive. représentée, comme on le voit facilemenU par la si»mnic vies carrés des dilTérences deux à deux des n — i ipianlilés H, ('.. ..., L. Je remarque ensuite qu'en suppi^sanl \ rr: .r on a un résultai négatif: nous avons donc celle conelusion ipie. >1 Vou désigne par ti et I» tleux racines conséeulives ipii eonipronnent j* dans leur inler\alle. une racine X' de Téquation Je Lai;ueriv e<l eulre a et .r. et l'autre X" entre jr et Ik