DONT TOUTES LES RACINES SONT RÉELLES

Comptes rvntius des séances de l'Académie des Sciences ^

i. LX\I\: 1X75.

I. Klant données doux quantités réelles quelconques A et B, j'appellerai inim^alle AB Tensemhle des valeurs que prend une quantité variable partant de la valeur initiale A et acquérant, après avoir crû constamment, la valeur finale B. En représentant A et B par deux points d\m a\e live, a\ant respectivement ces quantités pour abscisses, on voit que, si A est plus grand que B, rintervalle AB rtMi ferme le point situé à lintini.

Je désisruerai aussi par ccrcir AB la portion du plan limitée à la cin^Hiterence décrite sur AB comme diamètre et renfermant rînlcr\alle AB: en sorte que, si A est plus grand que B, le cercle AB sVlcndra ;\ Tintini.

Kntiu je dirai que deux quantités A et B limitent les racines d*uno oqualii»n, lorsque, dos deu\ inlerxalles AB et BA, l'un renlorme lv>utc< les racines rcelles de réquation. tandis que Taulre n'en rtMUVnuc aucune: qu'elles les sèpareni. lorsque chacun de CCS inlcrxallc^ cnlcrmc ,ui moins une racine n-e'Ue de réquation.

i. Cola p\*<c, considcr\^n> une t\fuation du degré n

Jixaul lxnïîc> sc< racines rxvllcs: c:î »iesii:nanl par H son hessien et eu i\ prcv^nuul, jv*;;r ibrc^vr, ^- ■; — 1 H par — A. on sait que A iv^^va Ix'^^m^uvs ^sv>':i:', vj;;cl»c xji;c >v«:: là \aleur de la vartJiHc, xi i o'.î r.^,;t:A v Uv^rcx r lc> { rv:v >i:L:i> siîixantes :

Théorème I. — Quelle que soit la valeur réelle attribuée à la variable Ç, si deux quantités réelles x et od satisfont à la relation

ces deux quantités séparent les racines de V équation (i).

Théorème II. — Etant données deux quantités quelconques X et x', ces deux quantités limitent ou séparent les racines de V équation (i), suivant que l'équation (:>.), en y considérant Ç comme rinconnue, a toutes ses racines imaginaires ou bien a des racines réelles,

3. Le ihéorèine I peul être mis sous une autre forme plus commode dans les applications. Si, donnant à Ç une valeur réelle fixe, nous faisons varier simultanément x et x' de façon à satisfaire à Téquation (2), nous voyons que les deux points x et x^ forment sur Taxe deux divisions en involution, dont les points doubles (nécessairement imaginaires) sont donnés par Téqualion

En appelant m le point de Taxe dont l'abscisse est Ç, représentons par M le point du plan dont les coordonnées rectangulaires sont

Lorsque m se déplacera sur Taxe, le point M (que j'appellerai le point adjoint à m) décrira une courbe (M), dont tous les points jouissent de la propriété suivante :

Théorème III. — Si, par un point quelconque de la courbe (M), on mène deux droites rectangulaires entre elles, les deux points oii elles rencontrent l'axe séparent les racines de la proposée,

4-. (Concevons mainlenanl que Toii ail déterminé un intervalle

Lfl ALQÈBRE.

AB contenant une seule racine a de la proposée et un point M de la courbe (M) situé dans le cercle AB : on pourra toujours le faire, si Ton a une valeur suffisamment approchée de la racine; car, à mesure qu'un point de l'axe se rapproche de cette racine, le point adjoint s'en rapproche lui-même indéfiniment. Menons, par le point M, deux droites respectivement perpendiculaires à MA et MB, et rencontrant l'axe aux points a et b; d'après le théorème Illy la racine a est comprise dans les intervalles Aa et 6B, et, par suite, dans l'intervalle ba qui leur est commun.

On obtient ainsi deux limites de la racine d'autant plus rapprochées que le point M est plus voisin de la racine. La condition nécessaire et suffisante pour l'application de cette méthode est que le point M soit situé dans le cercle AB; dans la pratique il sera plus commode d'employer un autre critérium.

o. Soit, à cet effet, m un point de l'axe ayant pour abscisse Ç, et m' un autre point de l'axe ayant pour abscisse la valeur ^' déduite de la relation l' -4: -^W ^ = o.

Je dis que, si le point m' est compris dans l'intervalle AB, la méthode précédente peut toujours être employée. On vérifie, en effet, facilement que la circonférence décrite sur mm' comme diamètre passe par le point adjoint M; par hypothèse, cette circonférence est située dans le cercle AB : il en est donc de même du point M.

Le critérium précédent est d'une application plus facile que le premier; il conduit, en outre, à un procédé parfaitement régulier pour approcher indéfiniment de la racine cherchée.

On établira, en effet, facilement la proposition suivante :

Théorème IV. — Ayant déterminé un intervalle AB cornprenant une seule racine % de V équation proposée, soit ^ une quantité prise dans l* intervalle AB, et telle que la quantité

P — TTqs ^^^^ elle-même comprise dans cet intervalle; suppo-

sons, pour fixer les idées, que, quand une variable décrit dans le sens direct V intervalle AB, elle passe par la valeur |î avant

de passer par la valeur ^ • , «

Cela posé ^ en appelant m le point dont l'abscisse est ^ etM le point qui lui est adjoint, nous mènerons par M une perpendiculaire à la ligne MB et coupant Vaxe au point m^ . De même, par le point M| adjoint au point /Wi, nous mènerons une droite perpendiculaire à M| B et coupant Caxe au point m^*

En continuant ainsi, nous déterminerons sur Vaxe une série de points m^ m^,, m^f » -- ^ mi et la série des points adjoints M, M|, M2, .. . , M|.

Les valeurs des abscisses des points m, mi, ma, ... , m/ fornieront une suite de quantités s^ approchant infiniment de la valeur a de la racine et toujours dans le même sens.

Pour avoir, quand on s'arrête à un terme quelconque de la série, mi par exemple, une limite de l'erreur commise, il suffira de mener par le point M/< une perpendiculaire à la droite MA, et de prendre son point d'intersection ni avec l'axe; la racine oLsera nécessairement comprise entre les points nii et a?,.

6. Les considérations et les constructions géométriques dont, pour plus de clarté, je me suis servi dans tout ce qui précède devront, dans les applications, être remplacées par des formules analytiques.

On obtiendra ainsi, en particulier, celles que j'ai données brièvement dans une Note que j'ai eu l'honneur de présenter récemment à l'Académie (a4 août 1874) (*)•

(') C'est la note de la page 5i du présent volume: d'ailleurs cette note, Taiticlc actuel et le Mémoire suivant sont, en quelque sorte, inséparables.

SUR LA

yottveiles Annales de Mathématiques, 2* série, l. WII; 1878.

1 . Soit une équation algébrique de degré n et à coefiicienls réels ou imaginaires; en prenant — pour inconnue, elle peut s'écrire sous la forme suivante

y désignant un polynôme homogène et du degré n par rapport aux quantités x et j*; ou encore, en posant ^ = — >

En prenant d'une façon arbitraire, dans un plan, deux droites rectangulaires pour axe des abscisses et pour axe des ordonnées, je conxiendrai, suivant l'usage habituel, de représenter une quantité imaginaire a-hj3i par un point ayant a pour abscisse et ^ pour ordonnée.

Cela posé, z=^— étant une quantité imaginaire quelconque

représentée par le point m du plan, j'appellerai point dérivé du

point m le point [jl représentant la quantité IJ = - déterminée par

Féquatiou

X On déduit de celte éipiatitm

SUR LA IlÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMKRIQUES. 07

OU, en vertu du thcorùmc sur les fonctions homogènes,

Lorsque l'on considère z comme la valeur approchée d'une racine de l'équation F(Z) = o, en désignant par z' la valeur que l'on en déduit pour cette racine, par la méthode de Newton, on a

d'où cette conclusion : Si m est un point du plan représentant une valeur approchée d'une racine de l'équation F(Z) = o, et si la valeur approchée de cette racine, que l'on en déduit par la méthode de Newton, est représentée par le point m', le point [x dérivé du point m s'obtient en portant dans la direction mm', et à partir du point m, une longueur égale k n x mm'.