J'établirai d'abord la proposition suivante
Théorème I. — Etant donnée une équation algébrique du degré /i, si l'on prend un point m arbitrairement dans le plan et si l'on désigne par [x le point dérivé du point m, tout cercle passant par les deux points m et [x, s'il ne passe pas par toutes les racines de l'équation, contient au moins une de ces racines; et, dans ce cas, une au moins des racines est située à l'extérieur du cercle.
Pour démontrer cette proposition, je remarquerai que, a, p,Y>2 désignant des quantités imaginaires quelconques, les différents points représentés par l'expression
quand on donne à / toutes les valeurs réelles possibles, sont situés sur un même cercle, et que, pour deux, valeurs imaginaires quelconques de /, les points représentant les valeurs correspondantes de z sont situés du même côté par rapport au contour du cercle, ou de côtés différents, suivant que, dans les valeurs de la variable /, les coefficients de / sont de même signe ou de signes contraires.
Cela posé, z= - ayant une valeur quelconque et s étant détcrminé par Téquation
l'expression
tx-
Ms
ty-
-Vi'
quand on y donne à t toutes les valeurs réelles, représente un cercle passant par le point m représentant z^ puisque, pour /=ao,
on a Z = — ; ce cercle passe également par le point dérivé jx repre-
sentant ^y puisque, pour / = o, ou a
On voit ainsi, à cause de Tindétermination de A, que l'expression précédente représente, pour des valeurs réelles de /, les différents points d'uu cercle quelconque passant par les deux points m et jjL et, diaprés ce que j*ai dit plus haut, pour démontrer la proposition énoncée, il suffira de prouver que Téquation
si elle admet des racines imaginaires, admet au moins une racine où le coeflîcient de i est positif et une racine où ce coefficient est négatif.
L*équation précédente peut s'écrire ainsi :
f\ ix ^ \ f'\. ir -^ A f'^'i =z o, ou, en développant >uivant les puissances de i^
Le coefficient de /""• dans celle équation est égal à zéro; un calcul facile montre, en ctVet, qu'il est égal à
De là résulte que la s^nnuic «les racines do I •'qualion • i \ est nulle:
en désignant donc par a + bi^ a' •■\- b' i^ ... ces racines, on a
X(aH- bi) = o, d'où
et, par suite, si toutes les valeurs de b ne sont pas nulles, il y a au moins deux de ces valeurs qui sont de signes contraires, ce qui démontre la proposition énoncée.
3. Théorème II. — Etant donnés un cercle quelconque qui renferme toutes les racines de V équation fÇL^X)^=> o et un point
= -> situé en deh'^^' ^^ ^^ é^ow*^ia /i^»#e /x»* nr^i^tf - — . nis par V équation
s= -> situé en dehors de ce cercle, tous les points z= -9 défi-
sont situés dans l'intérieur du cercle.
En effet, z désignant Fun quelconque des points ainsi définis, ^ est son point dérivé; si z n'était pas situé dans Tintérieur du cercle, par les deux points z el^ qui lui sont tous deux extérieurs, en pourrait mener un cercle renfermant dans son intérieur le cercle donné et, par suite, toutes les racines, ce qui est contraire à la proposition précédente. Le théorème est donc démontré.
On démontrerait de même la proposition suivante :
Etant donnés un cercle quelconque à l'extérieur duquel sont situées toutes les racines de l'équation
/(X,Y) = o, et un point J^= -, situé dans l'intérieur de ce cercle, tous les
points z=. —<> définis par l'équation
sont situés à l'extérieur de ce cercle.
4. Étant donnée une équation de degré n^ F(5)= o, et m étant le point représentatif d'une valeur z, approchée d'une racine de cette équation, désignons par m' le point représentatif de la valeur approchée de cette racine que donne la mélhode de Newton. Le
Tmi ALGEBRE.
poiiil a (Irrivé de m s^obtienl en portant, à partir de m dans la dlrrclion mni\ une longueur égale à /? x mm! y et tout cercle passant par les points m et |jl conlient au moins une racine de l'équation.
Kn particulier, le cercle décrit sur m[jL comme diamètre contiendra une racine, et, si m est suilisamment voisin de la racine, m sera tri^s voisin de m' et par conséquent de a; le cercle dont je viens de parItT aura donc un rayon très petit et contiendra la racine rhen^hée.
Dans tous les cas, on peut énoncer la proposition suivante :
Quelle que soit la quantité z^ il y a au moins une racine de rêqu<ttion Vi^z) = o dont la différence asrec V expression
t yi)
a un module moindre «tue < /i — i ^ fois le module de ... ^ .
fCxatneti du cas où toutes les racines tle l'équation
sont réelles,
5. (\>nsidériuis une équation du doirré n.F\ z *= o, avant toutes SOS racines nvHos.
Soit Li courbe dont rèquation csl « = F ^ , prenons un point quelconque M sur celle courbe cl j>ar ce point menons une parallèle à Taxe des ti cl la tangente à la courbe. Soient respectivement Pet r lc> |H^ints où CCS drv>ilc< ivujH^nt Tave des ^; portons sur cet a\c. à partir du jH^inl P et dans la din^clion PT, une longueur IM c^alo à *: \ n\
Ou tbvvrvmc l et vie l intcrprx lalîon cèx^mêlnque delà méthode \iv^ Newton, ou d<\l;:ït iîumcdiatcnïcn» la pn>posilivkn suivante :
/^: *\':. '.*•.' .:*/:; ,\ ;:,,:;.-; ;>; :♦ ^^ F c r-:'^-."^ ntre au moins
iV iVtSc prv^pru*;. n\*^? vj,;'. :; v Jk> j\irt:c'o:icr du ne propriété
SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. Gi
Convenons, comme préccdcniinenl,de représenter une (juantité imaginaire quelconque a-|- [3/ par un point d'un plan ayant respectivement a et p pour abscisse et pour ordonnée relativement à deux axes rectangulaires arbitrairement choisis.
L^équation F(3)=:o ayant toutes ses racines réelles, ces di- ^'erscs racines seront représentées par divers points de Taxe des abscisses.
Cela posé, j'énoncerai d'abord la proposition suivante :
La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation T[z) = o ait toutes ses racines réelles est que chaque point du j)lan et son point dérivé soient situés de part et d'autre de l'axe des abscisses.
En effet, si un point m et son point dérivé [jl se trouvaient d'un même côté relativement à Taxe des abscisses, on pourrait, par les deux points m et [a, faire passer un cercle situé entièrement d*un même côté par rapport à cet axe. L'équation, en vertu du théo- Tème I, aurait donc au moins une racine imaginaire, ce qui est contraire à Thypo thèse.
Réciproquement, si Téquation a des racines imaginaires, on peut trouver une infinité de points dont les points dérivés sont situés du même côté relativement à l'axe des abscisses.
Il suffit pour le démontrer de remarquer que, quand un point m du plan tend vers une racine ÎJ de l'équation, le point dérivé [x tend vers la même racine; en prenant m suffisamment rapproché de Ç, on pourra évidemment faire en sorte que le point dérivé soit situé du même côté relativement à l'axe des abscisses.
La proposition précédente est donc entièrement établie.
7. La droite aj3 désignant l'axe des abscisses {Jig' i), soit M un point quelconque du plan et |jl son point dérivé. Comme je viens de le faire remarquer, les deux points M et [x sont situés de part et d'autre de l'axe des abscisses; menons par ces points un cercle quelconque, et soient H et K les points où ce cercle coupe l'axe 3f^.
En vertu du théorème 1, le cercle renferme au moins une racine, cl comme, par hypothèse, toutes les racines de l'équation sont réelles, celle racine c?sl comprise enlre les points H et K.
Les points M et [jl restant fixes, on peut faire varier !e cercle, et l'on obtiendra ainsi une infinité de segments analogues à HK et tels que chacun d'eux renfermera au moins une racine. Soit I le
point de rencontre de M[jl avec l'axe ; au point I, élevons une perpendiculaire IP, telle quelP = MI x [aI.
Les divers segments dont je viens de parler sont vus du point P sous un angle droit.
A chaque point M du plan correspond donc un point P, défini comme je viens de le dire et jouissant de la propriété énoncée dans la proposition suivante :
Si, par le point P, on mène deux droites rectangulaires quelconques interceptant sur l'axe un segment RS, ce segment renferme au moins une racine de l'équation et en renferme au plus (n — i).
En considérant diverses positions du point M, on obtiendra autant de positions du point correspondant P. Il est facile de se rendre compte comment ces points P sont distribués dans le plan.
Supposons, pour fixer les idées, que l'équation soit du troisième degré et désignons par <?, i, c {fig- 2) les points qui, sur l'axe aa', représentent les racines de l'équation.
Sur chacun des trois segments ah, hc et ca comme diamètres décrivons une demi-circonférence : nous obtiendrons ainsi trois arcs de cerclo formant une sorte de triangle curviligne ac^ bal cU a.
En examinant la figure, on verra facilement <|ue deux droites n*ctangulaires quelconques passant par un p«)int situé dans Tinté-
rieur de ce triangle înterceplent sur l'axe un segment renfermant au moins une racine de l'équation et en renfermant au plus deux. Au contraire, si l'on prend arbitrairement un point en dehors de ce triangle, on peut toujours par ce point mener deux droites
Fig. 2.
rectangulaires interceptant sur l'axe un segment ne comprenant aucune racine de l'équation ou les comprenant toutes.
Tous les divers points P couvrent donc une portion du plan comprise tout entière dans le triangle curviligne ac'ba'cb'ay et il est facile de voir que la courbe qui la limite est tangente aux cercles aux points a, 6, c et a un rebroussement en chacun de ces points.
Dans Idifig, 2, cette portion du plan a été couverte de hachures.
