REMARQUES SUR QUELQUES POINTS

DE LA

* Nouvelles Annales de Matiiématiques, i* série, t. XVII: 1878.

1. Élanl donné un polynôme /(x), du degré w, on sait le rôle important que joue sa dérivée /'(j:) dans la résolution de l'équation/(jr) r= o.

Dans la plupart des cas, on peut remplacer cette dérivée par le polynôme

o(x)=a-x)/'(x)-^n/ixl

qui renferme une constante arbitraire \ et qui, quel que soit X, est généralement, ainsi que la dérivée, du degré (n — i).

î2. Supposons, par exemple, qu'en cfTcctuant sury(x) et ^{x) l'opération du plus grand commun diviseur, en changeant de signe tous les restes, nous formions une suite de polynômes y, (j), '^1, cp2, ..., analogues à ceux que Ton forme, dans la méthode de Sturm, en prenant pour point de départ les polynômes y*

Sans entrer dans les détails de la démonstration, on voit clairement que, si l'on fait varier x^ la suite des termes y, y, 0|, ne

peut perdre de variations que quand /(x) s'annule. Dans ce cas, l'expression

passe évidemment du positif au négalif si jr ^ A, et du négatif au positif si .r <; \.

D'où la proposition suivante, due à M. Ilermile (') :

Si, dans la suite des polynômes f, '^, cp,, '^.j, . . ., on substitue deux nombres a et [î (a <:^ jî), l'excès du nombre des variations de cette suite pour x =^ a, sur le nombre des iiariations de cette suite pour jr = p, est éf(al à V excès du nombre des racines de l'équation /( x) -- o, comprises entre a e/ ^ et plus petites que X, sur le nombre de ces racines qui sont plus grandes que \,

Il est clair que la proposition précédente peut servir aux mêmes usages que le théorème de Sturm, en ayant soin, lorsque Ton veut déterminer le nombre des racines réelles comprises entre a et p, de substituer le nombre \ dans la suite, si \ est compris entre a et p.

Je remarquerai maintenant que Ton peut toujours déterminer \ de telle sorte que le polynôme ^{x) s'abaisse au degré (/i — 2). On aura, par suite, une division de moins à faire que dans Tapplication de la méthode de Sturm ^ ce qui, dans certains cas, pourra être plus avantageux.

3. Je prendrai, comme second exemple, la séparation des racines d'une équation du cinquième degré.

M. Maleyx, qui a, dans ce Journal, publié plusieurs Notes intéressantes sur la séparation des racines (^), a remarqué que les racines de l'équation du cinquième degré pouvaient être séparées en résolvant deux équations du deuxième degré«

Le procédé suivant sera peut-être plus commode dans la pratique.

En désignant pary(^) un polynôme du cinquième degré, déterminons \ de telle sorte que le polynôme

S'abaisse au troisième degré; puis eflTecluons la division de/par o. Plous obtiendrons Téquation

/--.cpQ-hR,

où Q et R sont des polynômes du second dej^ré.

(• ) Mémoire sur l'équation du cinquième degré, p. 3i. (M Nouv. Ann, 2' série, t. \I, p. \o\, et t. Mil, p. 38.').

En remplaçant f par sa valeur, la relation précédente peut

s'écrire

on en conclut que les racines de /(x) = o sont séparées par les racines des équations

dont une est du premier degré et les deux autres du second seulement.

SUR LA