REGLE DES SIGNES DE DESCARTES

Nouvelles Annales de Mathématiques, i* série, t. XVÎII; 1879.

4. Pour appliquer cette proposition (^) à la recherche du nombre des racines positives de l'équation

où f{x) désigne un polynôme entier, je choisirai un polynôme

o(x), assujetti à la seule condition que le développement de ^rr-\

suivant les puissances croissantes Aex ne renferme qu'un nombre limité de variations.

Cela posé, A désignant le plus petit des modules des racines de l'équation cp(ic) = o, ce développement est convergent pour toutes les valeurs positives de x plus petites que A et est divergent pour j: = A; il s'annule d'ailleurs pour toutes les racines positives de l'équation (4) qui sont inférieures à A.

On peut donc énoncer cette proposition :

Le polynôme ^(x) satisfaisant à la condition ci-dessus énoncée, le nombre des racines positives de Inéquation /[x)=o, dont la valeur est inférieure à A, est au plus égal au nombre

des variations du développement de —, — - suivant les puissar\ces

croissantes de x, et, sUl lui est inférieur, la différence est un nombre pair.

S. En considérant seulement les cas les plus simples, soit d'a-

(') Nous avons supprimé les trois premiers numéros de ce Mémoire qui ne sont que la reproduction des pages 3, 4 et 5 du présent Volume. E. R.

( ) C'est la proposition dont l'énoncé est imprimé en italiques à la pago 5.

ALGEBRE.

bord ç(x) = /> — Xj p désignant un nombre quelconque positif. Soit n le degré de/(.r); en désignant par P un polynôme du degré (/i — i), on a identiquement

On voit que tous les termes de ce développement ont, à partir du coeffîcient de j-", le même signe. D'ailleurs, ce développement est convergent pour toutes les valeurs positives de x inférieures à/>; donc le nombre des racines positives de réqualiony(x)= o, dont la valeur est inférieure à p^ est au plus égal au nombre des

variations que présentent les termes du développement de J

dont le degré ne dépasse pas /i.

Comme il s'agit seulement d'obtenir les signes des termes de ce développement et que p est positif, on peut remplacer l'expres-

sion -ï par • ^ — r • ou encore par la suivante :

i — X ^ ^ d\>ù cette proposition :

Etant donnée V équation

A*x' -A|X*->-^ \îX»-* — ...— A,,x-^.V, = o,

/f* nomhrr des nicincs p<\s:itiWs de cette équation, dont la valeur est intérieure au nombre positif p^ est au plus égal au nombre des variations de la suite

Vi/»* • V./»* ' - \ip^ *— -.

ei^ jtV/ tmi est im/èrie^r. Li dijrerrme^ es: un nombre pair.