SUR LA RÈGLE DES SIGNES DE DESCARTES

fi. En désignant toujours par p un nombre quelconque positif, /disons en second lieu

On a identiquement, P étant un polynôme entier du degré

(y> — x)» (p — xy p — X

I-«e nombre des variations du second membre se compose d*aboT^d des variations du polynôme entier Q, formé des termes du

développement de .-^ dont l'exposant est inférieur à n, et ensuite des variations des termes de la suite

f(p) f{p) Ap)

v^omme ces termes vont toujours en croissant, la suite ne peut pï'^^senter qu'une variation, et elle la présentera effectivement si le

nombre n—p ^^ est négatif.

Au lieu du développement de •^__' > on peut évidemment considérer le suivant :

^^ énoncer cette proposition :

Étant donnée V équation

70 ALOÊORE.

si \ désigne le nombre des racines de Inéquation

positives et inférieures au nombre positif p, et jx le nombre des variations des termes de la suite

Ai/>"-» -f- iA,/)"-»-}-. . .-f-(,^ 7.)A„-,/?»-4-(/l — i )kn-\p -H nkn,

Aî/>«-*-r. . .-!-(/* — 3)A«- j/>«-4-(n — 'X)kn-\P -+-(/» —i)A«,

A„i/>-H2lA„,

/e nombre A c*^ ^// />///5 égal au nombre ([x -}- i), e^ leur différence est un nombre impair si la quantité n — p "^ ^ est positive ou nulle; la différence est zéro ou un nombre pair si cette quantité est négative.

7. Soient p et q deux nombres positifs quelconques assujellîs à la seule condition (|ue q soit plus grand que p; faisons

Le développement en série de — —=-7 — — — : est convergent pour

toutes les valeurs positives de j: inférieures à />, et l'on a identiquement, P désignant un polynôme entier du degré {n — 2),

(,P — x){q—x) q—pp — x Q~p^~-^

<I IP fip')\

ApA\ql Agy\ <!' Vp' Ap)\

Ap)\q" A'/)

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