En posant

f{x)= Ao.r'"-^ A,.r'«-»-Ha2jr'"-*-4-.. . -+-A,;i i j- -h A,;,,

(' ) L'article dc-^ Cont/Ucs rendus se compose des n"' 5, 7, Uel 10 du présent Mémoire. K. R.

SUR LA DÉTERMINATION d'UNK LIMITE SUPÈHIEUHE DES RACINES. 73

je considérerai la suite des polynômes

fx{x) = Ao c'«-» -+- A,a:'"-« ~h. . .H- A,„i, /(x)= AoJ^'"-+- AiJ7"»-i-. . .-h A,rt ia7 -t- A,||,

dont le dernier est précisément le premier membre de l'équation proposée.

Les valeurs que prennent ces polynômes pour une valeur donnée de la variable égale à « se calculent aisément par voie récurrente; on a, en effet, la relation bien connue

//(«) = a//Hi («)-+- A;»-/, et les quantités

//«(«)» fm-\{a), ..., /i(a), /(a)

se rencontrent d'elles-mêmes quand on veut obtenir le résultat de la substitution de a dansy(j:).

Cela posé, si un nombre positif a rend positif s tous les polynômes de la suite (3), ce nombre est une limite supérieure des racines de l'équation f{x)^= o.

On a, en effet, identiquement,

et il est bien clair que, sous les conditions énoncées ci-dessus, le polynôme y( a:) a une valeur positive pour toutes les valeurs de x supérieures à a\ on peut même ajouter que, pour ces valeurs, /{x) va toujours en croissant avec x^ d'où il résulte que a est une limite supérieure des racines de l'équation f(^x)= o et de l'équation/'(^)=: o.

3. Pour trouver une limite supérieure des racines de l'équation (i), on essayera donc d'abord la racine a de l'équation

/*/«-! (vr)= Ao^H- A, = o.

r\ ALGÈBRE.

et l'on calculera de proche en proche les diverses expressions

ce sont, du reste, les nombres que l'on a à calculer quand on veut trouver la valeur dey(a).

Si tous ces nombres sont positifs, a est une limite des racines de l'équation proposée; sinon, on essayera le nombre entier consécutif et l'on poursuivra les opérations jusqu'à ce qu'on arrive à un nombre ^ tel que tous les nombres intermédiaires qui se présentent dans le calcul de /(?) soient tous positifs.