Comme application, considérons l'équation

y(x) = x^ — ioj:* — 32x'-+- ';x^ — 5oox — 120 = o,

à laquelle est appliquée la méthode de Newton dans V Algèbre de M. Briot ( « ).

En cherchant le résultat de la substitution de 10 dans /(or), on rencontre le nombre suivant

10 est donc trop faible.

En substituant 11, on obtient les nombres

-4-1, -hi, —21;

ce dernier nombre étant négatif, 1 1 est trop faible. En substituant 12, on obtient les nombres

I a est donc trop faible.

En substituant i3^ on obtient les nombres

-T-i, -^3, -»- 7. iiK3 — 5oo, i3(ii83 — 5oo) — 120;

tous ces nombres étant positifs, on en conclut que i3 est une limite supérieure des racines de Téqualion proposée. C'est précisément la limite entière à la(|uelle conduit Tapplication de la méthode de Newton.

(•) Leçons d'Aliiî'brc, ^' tililiun. p. *.\^.

8Un LA DÉTERMINATION D'UNE LIMITE SUPERIEURE DES RACINES. 7.')

5. Les signes des termes de la suite (3), dont les valeurs se présentent d'elles-mêmes quand on calcule la valeur numérique de /"(«), peuvent servir à déterminer une limite supérieure du nombre des racines de l'équation, supérieures au nombre a, ce nombre étant d'ailleurs supposé positif.

On a, en effet, la proposition suivante :

Si a est un nombre positifs le nombre des variations de la suite (3) est au plus égal au nombre des racines de r équation (i) qui sont supérieures à ût, et, s'il est plus grand, la différence de ces deux nombres est un nombre pair.

Pour la démontrer, je considère l'identité

/^ =/,„(«)ar'"-«-^/,„-,(«)T'«-« + . . .+/,(«)-!- /(^;

pour des valeurs de x supérieures à a, le second membre est développable en une série convergente procédant suivant les puissances décroissantes de x, et l'on a

Comme je l'ai démontré dans une Note antérieure, Sur la règle des signes de Descartes (*), le nombre des racines de l'équation (i) qui sont supérieures à a est au plus égal au nombre des variations de la série qui compose le second membre de la relation (4). Ce nombre est d'ailleurs le même que le nombre des variations de la suite (3); la proposition est donc démontrée.

6. Comme application, je considérerai l'équation (5) a?* — Sx^-ha;' — Sa? — lo = o,

étudiée par Briot dans ses Leçons d'Algèbre (p. Sati).

(M Page 3.

En calculant successivement le résultat de la substitution dans le premier membre de Téquation (1) des nombres o, i, a et 3, on forme le Tableau* suivant :

X' /,(^)- lA^)' M^)' M^)' /(^)-

-^'?. -hi -+- 1 -+-3 — 2 — i4

•'* -Hl -+-6 -*- 19 -+-49 -4-137

Tous les nombres relatifs à -H 3 étant positifs, on en conclut d^abord que H- 3 est une limite supérieure des racines de Téquation (5); c^est le résultat auquel arrive Briot en groupant les termes du premier membre de Téquation de la façon suivante :

(X*— Sx* — Hx— I0)-f- JT».

De plus, les nombres relatifs à + 2 présentant une seule variation, on est certain qu'il y a une racine entre + 2 et + 3, et qu'il nV en a qu'une; Briot arrive aussi à cette conclusion en étudiant la dérivée de Téquation proposée.

D'ailleurs, les nombres relatifs à -H 1 ne présentant non plus qu'une seule variation, on en conclut qu'il n'y a aucune racine entre 4-1 et -4- 2 ; et, comme il est évident que, quand x varie entre o et -4- 1 , le premier membre de Féquation (5) demeure négatif, on voit que cette équation a une seule racine positive comprise entre 2 et 4- 3.

7. Des considérations semblables permettent de déterminer une limite supérieure du nombre des racines comprises entre deux nombres />05//i/5 a et A.

Soit, en eflel, Téqualion

Supposons a<^b et effectuons la division dey(jr) par le trinome (x — o^{j^ — A)*, on désignant par M.r -h N le reste de la division, nous obtiendrons un résultat delà forme suivante :

f\.r\ Mx-^\ = 7- -- -J(X)— : — .