SUR LA DETERMINATION D'UNE LIMITE SUPERIEURE DES HACINES

Mêlions la fraclion -, t\ î>ous la forme

(jr — a)(j7— b)

où, comme il esl facile de le voir,

A=/(£l et B = /!il:

la relation prc^cédentc devient

Pour loules les valeurs de x comprises entre a et 6, la fraclion esl développable suivant les puissances décroissantes de x.

et la fraction suivant les puissances croissantes de x. Si l'on

effectue ces deux développements, le nombre des racines de Téquation (i) comprises entre a et 6 est, comme je l'ai montré dans ma Note déjà citée, au plus égal au nombre des variations présentées par la série ainsi obtenue; on peut d'ailleurs remarquer que tou^ les termes dans lesquels j? a un exposant négatif

ont le même signe que — > et que tous les termes dans lesquels x a

un exposant supérieur à (m — i) ont le même signe que — B. D'où la proposition suivante :

En désignant par a et b deux nombres posttifs dont le plus grand soit 6, effectuons la division de f{x) par {x — a){x — b)\ soient ^{x) le polynôme du degré {m — '.>.) qui constitue la partie entière du quotient, e^ M x + N le reste de la division. Décomposons la fraction

Mar-^N

en rléments simples^ en sorte que l'on ait

(x — a){x — b) X — a x — b Soit ^(^x) V ensemble des termes dont le degré est inférieur

à m dans le dé\eloppemenl de , suii'ant les puissances croissantes de X,

Cela posé, si l'on ordonne suii'ant les puissances décroissantes de X le polynôme

o(j-)-+-->(ar)

et si l'on ajoute à la suite de ce polynôme le terme — , le nombre

des i^ariations que présente la suite ainsi obtenue est au plus égal au nombre des racines de l'équation (i) qui sont comprises entre a et fr, et, si ces deux nombres sont différents, ils di/fèrcnt d'un nombre pair,

7. L'application de la proposition précédente, qui n^exige guère c|ue la division dey(j:-) par (.r — «)(j' — b)y me paraît devoir être plus facile que celle de la méthode due à Budan et à Fourier, laquelle exige le calcul pénible des nombres

fya\ f'(a), fia).

t\b\ f\bK r^b-^

Comme application, je considérerai Téquation

f\x t— X* — 3j^ — X*— Sx— lO = o, que j*ai déjà traitée plus haut.

Pour a\oir une limite du nombre des racines comprises entre — i et — >, je di\ise/< .r"^ par ,r- — x>.r — ». i>n a

-V:'— -x:-ixt-.x-:--^"-^^

l" u dexelopp^nt - - ^ ' -^ >uî\aut les puissances crxiissanles de x.

SUR LA DÉTERMINATION D'UNE LIMITE SUPÉniEURE DES RACINES. 79

l'ensemble des termes du quatrième degré dans le développement est

2 A 16 Sa

Si nous considérons maintenant la suite des termes de l'expression

fa^-^(f6-^'y-^(4^')"'-^G-^0

comme elle ne présente aucune variation, nous en concluons que l'équation proposée ne renferme aucune racine entre + i et -|- a.

8. J'ajouterai encore, pour éclaircir ce qui précède, une seconde application.

Soit l'équation

qui a été considérée par M. J. Petersen dans sa Théorie des équations algébriques (*).

En substituant successivement o et -|- 1 dans le polynôme /(t) et dans ses dérivées, on déduit du théorème de Budan que l'équation proposée n'a aucune racine comprise entre les limites considérées ou qu'elle en a deux, et l'on peut trancher la difficulté en substituant, comme le fait M. Petersen, un nombre intermédiaire et en mettant en usage une règle due à Fonrier.

Appliquons la méthode exposée ci-dessus et efTectuons la division du polynôme

par x'^ — x\ on trouve aisément

x^ — 5a:* — i6ic'-»- laa:' — \)X — >

= (j7'— 4^' — 20X — 8)(ic'— X)— 173* — :>, d'où

X* — 5a?* — i(>ar^ h- I2X* — \)x — 5

iTJ'-hS

(») Théorie der al gebraischen Gleichungen^ p. -.w?..

8o ALQKDRE.

ce qui donne, en développant — '-'— suivant les puissances crois-

santés de x et en ne retenant du développement que les termes d'un degré inférieure celui de x*,

X^ — Ax^ — 'iOX — 8 -H a?- -h OiO.X ■+- •>.9.X^ -+■ 9.'>.a^-4- IHX*- i

ou, en ordonnant,

•rxx^ H- v.'ix' H- i8 jr» -r- 7.a: -h i4 -^ •

Cette suite ne présentant aucune variation, nous en conclurons que Téquation proposée n'a aucune racine comprise entre o et -h i ; c'est le résultat auquel conduit l'application de la rèffle de Fourier.

9. Il y aura souvent lieu de faire simultanément usage du théorème de Budan et du procédé de la division. Il est facile, du reste, d'imaginer des cas très étendus où ce procédé est plus avantageux que l'emploi du théorème de Budan.

Pour en donner un exemple, j'énoncerai d'abord, sous la forme suivante, la proposition que j'ai démontrée plus haut :

En désignant par a et b deux nombres positifs, soit

la partie entière du quotient du polynôme /(x) par (x — ^)(j^ — é)î €t considérons la suite

le nombre des racines de r équation

qui sont comprises entre a et b est au plus égal au nombre des variations des termes de cette suite, et, si ces deux nombres sont dijférents, leur différence est un nombre pair.

SUR LA DÉTERMINATION D'uNK LIMITE SUPERIEURE DES RACINES. Hl