Cela posé, proposons-nous le problème suivant
Etant donné un polynôme entier f{x)j déterminer deux limites entre lesquelles demeure comprise la valeur de ce polynôme, lorsque x prend toutes les valeurs comprises entre les deux nombres positifs a et b.
Il est clair que ce problème peut s'énoncer ainsi qu'il suit :
Trouver deux nombres ^ et ^ tels que, pour toutes les valeurs de \ inférieures à t. et pour toutes les valeurs de cette variable supérieures à jî, Inéquation
n'ait pas de racine réelle comprise entre a et b.
L'emploi [du théorème de Budan ne peut, en général, être d'aucun secours pour la détermination de ces nombres; car, si l'on considère les deux suites
et
on voit que, quand l'ensemble des termes /'(a), /''(a), ... et l'ensemble des termes y (6), f"(b)^ ... ne présentent pas le même nombre de variations, il est impossible de déterminer )» de telle sorte que les deux suites précédentes olï'rent le même nombre de variations : ce qui serait nécessaire pour pouvoir conclure du théorème de Budan que l'équation /(j;) — X = o n'a aucune racine réelle comprise dans l'intervalle considéré.
J'emploierai ici la méthode de la division, et, en désignant comme ci-dessus par
la partie entière du quotient de f(x) par (.r — a)(x — b), je remarque d'abord que ce polynôme est aussi la partie entière du quotient def{x) — X par (x — a){x — 6).
La suite que nous avons à considérer devient ainsi
(6) |/(6)-X-^»«(6-a)Gi, ...,
Désignons respectivement par a et par p le plus petit et le plus grand des termes de la suite (5); si Ton donne à^ une valeur quelconque inférieure à a, tous les termes de la suite (6) sont positifs, d*oii il résulte que l'équation /(j:) — ). = o n'a aucune racine réelle comprise entre a el b lorsque X est plus petit que a. On prouverait de même que cette équation n'a aucune racine réelle comprise entre ces limites lorsque X est plus grand que p.
D'où la proposition suivante :
La valeur que prend le polynôme /(x)^ quand x varie depuis a jusqu'à 6, demeure toujours comprise entre les nombres
aet p.
11. J'ai démontré précédemment qu'étant donnée une eiLpression entière
où les termes sont ordonnés suivant les puissances décroissantes de Xj si l'on forme les polynômes
4>o(^) = Aoa:'", ^i(x) = Ao^'^-h Bj:'»,
le nombre des racines de réquation/(x)=: o qui sont supérieures au nombre positif a est au plus égal au nombre des variations que présentent les termes de la suite
4>o(a)» *i(aX *i(a),
La démonstration supposait évidemment que les exposants nij n^ Pj ... étaient des nombres entiers et positifs; mais il est facile de voir que cette restriction est inutile.
