SUR LA DÉTERMINATION D*UNE LIMITE SUPÉRIEURE DES RACINES

En premier lieu, si qiielqnes-uns étaient négatifs, en multipliant f{x) par une puissance de ^convenablement choisie (ce qui n'altérerait pas le nombre des racines positives de Téqualion), on pourrait rendre tous ces exposants positifs.

En second lieu, si quelques-uns des nombres m, /7, />, ••• étaient fractionnaires, on pourrait les rendre entiers en changeant X en x^^ ci> étant le plus petit commun multiple des dénominateurs des nombres m^ n, p^ • • • . Par un raisonnement connu, on en déduit que la proposition subsiste encore lorsque les exposants sont incommensurables.

Rien n'empêche même de supposer que le nombre des termes de la fonction y*(j:) soit illimité, pourvu que la série composée de ces termes soit convergente pour or = a.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Étant donnée l'expression

/{x)= Xx^-h Bar" H- CxP-^,..,

où le second membre est une série ordonnée sauvant les puissances décroissantes de x et convergente pour x = a, le nombre des racines positives de V équation

qui sont supérieures au nombre positif a est au plus égal au nombre des variations que présentent les termes de la suite

ety si ces deux nombres sont différents, leur différence est un nombre pair.

Le nombre de ces variations- sera du reste évidemment fini, si la série tend, pour :r = a, vers une limite différente de zéro, puisque, pour une valeur suffisamment grande de w, les termes

doivent avoir le même signe que /(a).

8'| ALGKBRK.