Semblablemenl, élanl donnée une expression

f{x)= A H- Bj:'" -r Cj;«-i- Dx/'-r-...,

oii le second membre est une série ordonnée suivant les puissances croissantes de x (les exposants m, /î, />, ... pouvant être d^ailleurs entiers, fractionnaires ou irrationnels) et convergente pour une valeur positive de x égale à a, formons la suite des po- Ivnômes

'ï>o(x) = A, 4>,(j-)= A -T-Bx"», 4»j(x)= A -r-B3:«-^Car«,

Cela posé, le nombre des racines positives de l* équation f{x)=i o qui sont inférieures à a est au plus égal au nombre des variations que présentent les termes de la suite

et y si ces deux nombres sont différents, leur différence est un nombre pair.

13. Je donnerai encore, en terminant, une application de la règle des signes de Descartes aux équations que l'on obtient en égalant à zéro les dénominateurs des réduites de la fonction e^.

On appelle, comme on le sait, réduite de rang n de la fonction e^ une fraction

dont les doux termes sont des polynômes de degré n, tels que le développement de celle fraction suivant les puissances croissantes de »r coïncide, jusqu'au tt^rme du degré 2W inclusivement, avec le développement de t*^ (*); on peut poser, par conséquent.

Il désignant une série ordonnée suivant les puissances croissantes de .r et commen<;anl par un terme do Tordre dcr*-""*"*.

(M Sur oos roduilOîi. i>«)i/- nt>tanunont lo Mcinoirt^ *lo M. Hermite Sur ta fonction r'x/Hin^ntiirtic. p. i>

Srn LA DÉTERMINATION D VnE LIMITE SI TÉRIEURE DES RACINES. 83

On a d'ailleurs

en sorte que le polynôme F(a;) ne présente que des variations; par

suite, Téquation

ne peut avoir que des racines positives.

Le polynôme ^(x), étant égal à F( — j:)y ne présente que des permanences. J'observe maintenant que la série R satisfait à l'équation difierentielle

d* y cIy