X -7^ — ( j? -T- •>. /i ) -j — \- ny = o. dx^ ^ ' dx

Celte série est de la forme

V \ .-/n ^i\fflX ',

où m doit prendre toutes valeurs entières depuis a/i -f- 1 jusqu'à l'infîni. En substituant cette expression dans l'équation différentielle, on voit aisément que l'on a identiquement

S/n(/7ï — i)X„tX^-^'- SmA,„(.r'«-»- 9./ï.r«»-»)-i- nl\,„xf"= o, d'où la relation suivante :

La fraction

(ni — 'j.n ){ni -»- i)

étant positive pour toutes les valeurs de m supérieures à 2/1, on en conclut que tous les termes de la série R ont le même signe.

Par suite, le polynôme ^P(j:) et la série R n'ayant que des permanences, on voit que le développement de e-^F^x) présente au plus une seule variation ; l'équation

c-^ F(x)= o, qui a 1rs mêmes racines que l'équation F(r)=o ri dont le dé-

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veloppement est d'ailleurs convergent pour toutes Tes valeurs de la variable, a donc, en vertu de la règle des signes de Descartes, une racine positive au plus; Téquation F(j:)= o ne peut avoir du reste que des racines positives.

D'où la conclusion suivante :

Si le nombre n est pair, Véquation F( x) = o a toutes ses ra^ ci nés imaginaires.

Si ce nombre est impair, elle a une seule racine réelle (*).

{*) Quelques parties, d'ailleurs peu étendues (p. 75, 76 et 83), du présent travail se trnuventy au fond, dans le Mémoire placé en tète de ce Volume; nous avons cru cependant devoir les conserver, pour ne pas rompre la suite des idées. Nous estimons, en cflTct, qu'il faut avant tout conserver le caractère de l'œuvre, même au prix de quelques redites. E. R.