RACINES D'UNE EQUATION ALOEBIUQUK QUI A TOUTES SES RACINES RÉELLES

l'on représente par un point M une valeur arbitraire attribuée à x

ot si l'on porte de part et d'autre du point M une longueur égale

»?n valeur absolue à

aucune racine de Téquation (i) ne peut se trouver en Ire les extrérnîlés N cl N' des segments ainsi déterminés, en sorte que les ra- <:ines de celle équation seront ou su]>érieures au nombre déterminé par le point K' ou inférieures au nombre déterminé par le point N.

3. Celle propriété n'est évidemment qu'un cas particulier d'une proprîélê plus générale et renfermant une constante arbitraire.

Toutes les fois, en efibl, qu'une proposition relative à des polynômes enliers ne comprend pas uni(|uement dans son énoncé des covarianls ^simples ou multiples de ces polynômes), elle est un cas particulier d'une proposition plus générale, dans Ténoncé de laquelle n'entrent que des covariants, et cette proposition plus générale peut se déduire immédiatement de la proposition particulière dont je viens de parler (*).

C'est ce que je pourrais faire ici; mais, pour être mieux compris dans un premier exemple, je suivrai une autre marche et partirai do ridentité suivante, où Ç désigne une quantité arbitraire el où le signe - s'étend à loutes les racines de l'équation (i) ;

/"- — ff /■'

■ Cci-1 de la niôiiie faroii (|uVri (iroinélric loul llii'orôine dans lequel lu •iMiiit J; i'inlini ou los oinhilirs <iu plan jou(;iil un rôle particulier est un rus fariicufjcr 'l'un lliéorcine plus général dans lequel les ombilirs sont remplacés fwi* QV.VX p'.unts «quelconques du plan. Il est du reste, eiuninc un le saiL, très fa-

9<> AI.OKDRE.

Pour transformer celle relation, j'introduirai la fonction y*(^, y) liomojçùnc des deux variables x cly^ qui se réduit à f{x) quand on y {'A\iy = i ; en supposant donc que cette variable soit toujours, dans la suite des calculs, remplacée par Tunité, j'aurai

et, en verlu du théorème des fonctions homogènes,

Le polynôme (/i — 0/" — ".//' ^^ diffère que par un facteur purement numérique du covarianl dey"(j:,j') que Ton désigne sous le nom de hessien ;\e le représenterai parla lettre H, en sorte que la relation précédente pourra s'écrire

4. En représentant par P le second membre de cette égalité (P est évidemment toujours positif, et il en est de même, comme on le sait, du covarianl H), je considère les deux racines X' et X" de Téq nation

que Ton peut écrire

Si, dans le premier membre de celte équation, on remplace X par la valeur d'une racine quelconque a de Téquation (i), on obtient un résultat positif; car, en vertu de Kidenlité (3), on a évidemment

On conclut de là que toutes les racines de Téquation (i) sont

rile de passer du thëorènie particulier au ihtMirèinc général: j'ai le premier résolu cette question, relativement au\ relations angulaires, dans ma Mote sur la théorie lies /t\yers \ .Vomellvs Anntilvs tic .yfttthtmatiffttes. p. '>; ; i^î5 i.

RACINES d'une ÉQUATION ALGÉBRIQUE QUI A TOUTES SES RACINES RÉELLES. 91

comprises dans Tun des intervalles compris entre les nombres X' etX''(«).

Si, au contraire, on remplace X par or, on obtient un résultat négatif, d'où Ton voit que celui des deux segments déterminés par les points X' et X" qui renferme toutes les racines est celui en dehors duquel est situé le point x,

5. Supposons, pour fixer les idées, que a et ^ désignent deux racines consécutives de l'équation (i) (« étant <^ P) et que nous donnions à x une valeur arbitraire comprise entre ces deux racines; désignons par X' et X" les deux racines de l'équation (4), X' étant la plus petite des racines.

11 suit de ce qui précède que X' et X" sont situés, quelle que soit la quantité Ç, de part et d'autre du point x^ et que toutes les racines sont ou supérieures à X" ou inférieures àX'; X' et X" sont donc respectivement des valeurs approximatives des racines a et p plus approchées que la quantité x dont on est parti.

Plus généralement, on peut dire que :

Si Von désigne par x une quantité prise arbitrairement dans l'intervalle compris entre deux racines consécutives a et p de l'tquation (i), et par X' et X" les deux racines de V équation (4)j les quantités

sont placées par ordre croissant ou décroissant de grandeur (^) quelle que soit la quantité $.

Eln particulier, si l'on suppose ^ = 00, Téquation (4) devient

(x-xy- p '

et Ton retrouve la proposition que j*ai démontrée tout d'abord (n"2).

(*) On peut passer de la valeur \' à la valeur X** sans passer par rinfini, ce qui donne un premier intervalle: le second intervalle comprend la valeur infinie de la variable ou, si Ton veut, le point situe à l'infini sur la droite dont les différents points représentent les valeurs de la variable.

(*) Si, en particulier, on considère la plus petite racine 2 et la plus grande racine ^ de l'équation, on doit les regarder comme consécutives, l'intervalle qui les sépare comprenant la valeur infinie de la variable.

(yi ALQKBKK.

Pour établir la proposilioii générale, il suflît même de la supposer démontrée dans ce cas particulier; en introduisant en effet, pour riiomogénéité, des variables Y et Tj égales à l'unité, l'équation (4) peut se mettre sous la forme suivante

;Y-Xr,y(;/:,-4-r,/;.)'+(g^-r,:r)îH

OÙ l'on voit clairement qu'elle ne renferme que des covariants de la forme f{x,y). Si donc la proposition énoncée est vraie pour une valeur particulière de Ç, elle est vraie (puisque, pour emprunter le langage de la Géométrie, elle est projective) pour toute autre valeur de la même variable.

6. Il résulte des considérations précédentes que, x désignant une quantité prise arbitrairement entre deux racines consécutives a et ^ de Téquation proposée, on peut trouver une infinité de systèmes de nombres X'*et \!' jouissant de la propriété que X' soit compris dans l'intervalle olx et X" dans Tintervalle xp.

Comme on peut donner à ^ des valeurs arbitraires, on peut rechercher quelles sont les valeurs de X' et de X" qui se rapprocheront le plus de a et de ^, et il suffit évidemment de résoudre la question dans le cas particulier où .r = ûo; de là on passera sans difficulté au cas général.

En posant

f(x)= ajr"-{- nhx"-^ -\ ex»-*-!-. . .,

on Irouve aisément que

et qu'en faisant a: == oo la formule (4) devient

it^Wi- n( ai H- ôy^ njn - i)(b^-- ac) ^

d'où Téquation suivante, qui détermine les valeurs de X,

(n - \)a^i^-\- -lai nb -r- a\)i

-+- n^b^— n(n — i)ac — a'\^=z o.

RACINES d'une ÉQUATION ALGEBRIQUE QUI A TOUTES SKS RACINES RÉELLES. 93

Les valeurs extrêmes de X s'obtiendront en exprimant que cette (équation a ses racines égales^ elles seront ainsi déterminées par In relation

{nb-ha\)- —{n — i)( /i«^s— /i(/* — i )ac — a*X«]= o,

qui peut s'écrire, toutes réductions faites,

a* X' -+- 9. a/> X -+- ( /i — i^ac — n{n — 2 ) A' = o,

d'où Ton déeluit

— ^ d- ( /i -- 1 ) ^b*— ac a

et, d'après ce que j'ai démontré plus haut, l'une de ces valeurs est une limite supérieure des racines de l'équation proposée, l'autre en est une limite inférieure {*).

7. Cette proposition n'est évidemment qu'un cas particulier d'une proposition plus générale relative à une valeur arbitraire de Xy le cas que je viens de considérer correspondant à ^ = 00.

(*) Cette propositioQ peut s'établir directement de la façon suivante. En désignant par a, 6, Y, . . . les racines de l'équation /(x) = o, par s^ ta somme de ces racines et par «, la somme de leurs carrés, on a évidemment

X,{x — ay= nx^^ 9.S^X-hS^.

En désignant par a Tune quelconque des racines, on a donc

{x — 3iy<nx'— 2s^x -h s^;

d'où Ton voit que le polynôme

a toujours une valeur positive. Ses facteurs sont donc imaginaires, et Ton a, pour toute racine de Téquation,

(n — !)(«,— a») — (a — 5,)^>o; par suite, Téquation

détermine deux limites des racines de Téquation (i). Elle peut s'écrire

/l X* — 2 J, J7 -t- 5 J — ( W — I ) s, = o, OU

a^x^-h2abx-h{n — i)'ac — n{n —2)b^= o

^ . ^ .. ^ . , . nb n-b^— n(n — i)ac

en remplaçant respectivement 5, et s^ par leurs valeurs — et *

c'est, sauf la notation, Téquation obtenue plus haut par une vuic dilTcrente.

3^1 ALGEBRE.

I^our la trouver, je metlrai la relation précédente sous la forme (0) (/m\ -h /*/>)*— /*«(/? — i)M^*— <Trc)= o,

et je considérerai Péquation suivante

(r>) (X/x+V;)'-(''-0(Xr-Y^)Mi =o,

qui ne renferme que des covariants dc/{x^ j').

Je remarque que, quand on y fail x = oc, elle se réduit à l'équation (5); sans autre démonstration, on peut donc en conclure que :

Si l'on donne, dans réqualion (6), à la variable x une valeur comprise entre deux racines consécutives ol et ^ de l'équation (i), de ses deux racines X' et X", l'une est comprise entre OL et X et Vautre entre x et ^3.

Ces quantités sont d'ailleurs y de toutes celles que l'on peut y en donnant à \ toutes les ^valeurs possibles, déduire de l'équation (4), celles qui approchent le plus des racines ol et p.

Pour résoudre Téquation (G), j'y fais, ()our simplifier récriture, Y = y = i . cl, après l'avoir écrite de la façon suivante

j'extrais la racine carrée des deux membn^s.

8. La formule (|ui |)récède résout complètement la question suivante :

Etant donné un nombre arbitraire x^ déterminer, sans tâtonnement et par une suite d'opérations réi^ulières, des 'valeurs de plus en plus approchées de la racine immédiatement supérieure à x ou de la racine qui lui est immédiatement inférieure.

Si. par exemple . on voul dctn miner la racine immédiatement supérieure à j\ on liivra «li- Ki fnrnuilo ( 7 ) une valeur convenable