RACINES D'UNE ÉOUATION ALGÉBRIQUE QUI A TOUTES SES RACINES REELLES

de la correction X — j:, en prenant le radical (qui (léterrninc le signe du second membre) avec un signe contraire à celui de y*; en partant de cette nouvelle valeur ou, pour faciliter les substitutions, de toute autre valeur comprise entre x et X, on continuera les opérations, qui permettront ainsi d'approcher indéfiniment de la racine cherchée.

Quelle que soit la valeur x dont on parle, cette méthode n'est jamais en défaut comme peut Tétre la méthode de Newton, et, dans le cas où la méthode de Newton peut être employée avec sûreté, elle donne toujours une approximation plus grande.

Supposons, pour fixer les idées, que nous appliquions la méthode de Newton au nombre x en vue d'obtenir la racine immédiatement supérieure; la correction est égale à

quantité positive, et l'on diff"^ o.

La correction proposée est égale à

nf

-/'ii=v/( 71- i)î/'2 ni,n - I )V/

OÙ le radical doit avoir le même signe que y*.

Or, /f^ étant positif, il est clair qu'en valeur absolue le dénominateur est plus petit que /i/"'; la correction proposée est donc supérieure à celle qui résulte de la formule de Newton, et, comme elle demeure également inférieure à l'excès de la racine cherchée sur le nombre Xj elle est plus avantageuse.

JV.

9, Pour éclaircir, par quelques exemples, les considérations qui précèdent, je considère d'abord l'équation

et je me propose de calculer la racine immédiatement supérieure

L'cquation élanl du troisième degré, la formule de corrcclion esl

On trouve aiscmenl les valeurs suivantes

j l'on déduit

cl la valeur approchée \ ^ 2,655; la véritable valeur étant, avec trois décimales exactes, 1,^6*^, l'erreur esl plus petite que j--

La méthode de Newton esl ici inapplicable et conduit à la valeur î+S = 3,î8....