RACINES D'UNE ÉQUATION ALGÉDRIQUE QUI A TOUTES SES RACINES RÉELLES

d'où

X = 3,o5 ^i^5Z5Zl__ = 3^0489154...,

valeur dont les cinq premières décimales sont exactes et qui est approchée par excès.

11. Soit encore Téquation X„=: o qui définit le polynôme de Legendre du degré /i; on sait que les racines de cette équation sont toutes réelles et comprises entre — i et -h i .

Proposons de trouver une valeur approchée de la plus grande racine de cette équation; en la désignant par a et en prenant -j- i comme point de départ, on trouve aisément

/i(/i — r)(/i -+-r)(Ai-h'2), la formule (7) donne

n{n-hï) /{n — ïyn^{n h- i)* /i»(n — i)*(/i -hi)(n

OL — I n

d'où

La quantité a est approchée par excès. Si, comme exemple, nous faisons /i = 7, il vient

la valeur de la racine, calculée avec quatre décimales, est, d'après Gaass(»),

t') àfetkodus nova integralium valores per approximationcni inveniendi {(£uvru de Gauss, t. III, p. ujb).

98 ALOÈDRE.

Si l'on cmployail la correclion de Newton, on trouverait pour va leur approchée

ar^i- ~ = o,(/>i3...;

on voit qu'elle s'éloigne notablement de la véritable valeur.

12. Un autre exemple plus intéressant est fourni par l'équation du degré n qui détermine cos — •

(iette quantité est la plus grande racine de l'équation

f{x)= I {\ — x)-\ î^ -' 7~(i — Jr)«

Clierchons-en une valeur approchée a, en prenant l'unité pour

point de départ.

On a

La formule (7) donne donc

y . A / ' -. //3{/l — l)*(nH-l)

et enfin

/n-(/i — 1)4/ — j — On ;i donc approximativement

RACINES D*VNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE QUI A TOUTES SES RACINES RÉELLES. ()()

OU, en posant t = - >

* Il

( 8 ) cos — = I —

i3. Cette formule approximative n'est justifiée que si - est un

nombre entier égal ou supérieur à 2. On peut cependant l'employer pour toutes les valeurs de x comprises entre o et -f- 1.

Pour donner une idée,de l'approximation qu'elle comporte, je transcris ici, pour un certain nombre d'arcs, les valeurs des cosinus correspondants calculés au moyen de la formule (8), et en regard leurs véritables valeurs. Dans celles qui sont exprimées en décimales, les quatre premiers chiffres décimaux sont exacts.

Valeur du cosinus Valeur exacte

calculée du

Angles. par la formule (8). cosinus.

18 o,9ji'2 o>95ii

75 Oj'ijQi o,si588

Jcf ferai remarquer que, quand l'an^jle est compris entre o*" et 43" ou entre 60° et 90", la valeur calculée est supérieure à la valeur exacte; elle lui est inférieure quand l'angle est compris entre 45** et 60*».

Si Ton pose

TZX Vj7'