COS = I
la fonction V diffère très peu de l'uriitc quand x varie de o à -t- i .
H»0 AI.OKDRE.
Elle s'en écarte le plus pour x = o; on a alors, comme il est facile de le voir,
Ia) maximum de Terreur commise en emplo^'ant la formule (8) esl environ o,ooo3.
H, La méthode que j'ai exposée ci-dessus présente des avantages incontestables sur celle de Newton; toutefois, elle exige l'extraction d'une racine carrée et la substitution dans le polynôme f"{x) de la valeur approchée de la racine.
L'extraction de la racine carrée n'augmente guère les calculs lorsque Ton peut employer les logarithmes. Quant à la substitution dans la dérivée seconde, il est facile, dans un très grand nombre de cas, d'en obtenir le résultat.
Il existe en effet une classe nombreuse d'équations, ayant toutes leurs racines réelles, qui jouent un rôle important en Analyse [à cette classe appartiennent notamment les polynômes de Legendre, les polynômes définis par l'expression cos w(arccos j:), etc.] et qui jouissent des propriétés suivantes :
En premier lieu, en désignant par V,, le polynôme qui forme le premier membre d'une de ces équations et par n son degré, V„ s'exprime linéairement en fonction de V„i et de \ n-i'
En second lieu, V), et V][, s'expriment d'une façon 1res simple quand on connaît V,, et V„|.
Pour trouver le résultat de la substitution d'un nombre donné a dans V„, on calculera successivement et par voie récurrente le résultat (|u'on obtient en effectuant la substitution dans Vq, V| , . . . , V;,i, V„: cela posé, les valeurs de V'^(a) et V][,(a) s'en déduisent presque sans calcul.
15. J'ai montré précédemment qu'on pouvait obtenir une infinité d'intervalles ne renfermant aucune racine d'une équation donnée qui a loules ses racines réelles.
RACINES d'une ÉQUATION ALGÉBniUUR QUI A TOUTES SES RACINES RÉELLES. loi
On peut délerniiner également une inflnilé d'intrrvalles renfermant au moins une racine d'une telle équation.
Pour abréger, je dirai que deux nombres A et A' séparent les racines d'une équation lorsque chacun des intervalles compris entre ces nombres renferme au moins une racine, et qu'ils ne les séparent pas lorsque l'un des intervalles renferme toutes les racines, tandis que l'autre n'en renferme aucune.
Cela posé, j'ai donné sans démonstration (*) la proposition suivante :
Si l'on désigne par x une quantité réelle arbitraire, les nombres \ et \' qui satisfont à la relation
et dont l'un est arbitraire y séparent les racines de V équation
Le nombre n désigne ici, comme ci-dessus, le degré du polynôme y(X).
16. Pour démontrer ce théorème, je remarque d'abord que, en désignant par y^ r\ et t/ des quantités introduites pour rendre les expressions homogènes et dont la valeur soit égale à l'unité, la relation précédente devient
H représentant, comme plus haut, le covariant
in^i)f't-nfr.
La relation, sous celte nouvelle forme, ne renfermant que des covariants de/'(X, Y), la propriété énoncée est projective; il suffit donc, pour l'établir, de la démontrer pour deux valeurs parliculières des variables indépendantes x et l'.
Je supposerai :r = oc et Ç'= o.
(*) Sur ta résolution des équations qui ont toutes leurs racines réelles {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. LXXIX, p. 99*)).
loa ALOKDRR.
Alors, si l'on fait
l'équation (9) devient
d'où
cl a
et, en désignant par a, p, . . . , w les racines de/= o,
Il faut maintenant prouver qu'une racine au moins de l'équalion est comprise entre o et Ç et que toutes les racines ne sont pas comprises dans cet intervalle.
Pour fixer les idées, je supposerai Ç positif et je distinguerai deux cas :
1° Si toutes les racines sont positives, Ç est une valeur moyenne
entre les quantités
a» p» tu»
c'est-à-dire
a, p, ..., co;
il en résulte qu'une au moins de ces racines est comprise entre o et Ç et une au moins en dehors de ces limites.
La proposition est donc démontrée.
2® Si quelques racines sont négatives, soient
les racines positives de l'équation; on a évidemment
«> a-hp-H...-hX '
La quantité Ç étant supérieure à la valeur movenne des racines positives, Tune au moins de ces racines est comprise dans l'intervalle o, Ç; toutes ces racines peuvent même y être comprises, mais il y a au moins une racine négative en dehors de cet intervalle. La proposition subsiste donc encore dans ce cas.
RACINES d'une ÉQUATION ALGÉBRIQUE QUI A TOUTKS SKS RACINES RÊKM.ES. Io3
il, II résulte de ce qui précède que, si les quantités Ç et ^ ne séparent pas les racines de l'équation /== o, Téquation (9) a toutes ses racines imaginaires, et que, si elles les séparent, celte même équation a nécessairement des racines réelles. Mais je ne m'étendrai pas davantage sur ce sujet; quant aux applications que Ton peut faire de ce qui précède à la résolution par approximation d'une équation ayant toutes ses racines réelles, je renverrai à la Note insérée dans les Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences et que j'ai rappelée plus haut.
