AU MOYEN DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES
Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences,
t. XC; 1880.
1. Les équations dont toutes les racines sont réelles constituent à bien des égards, dans Tensemble des équations algébriques, une classe particulièrement importante, et les problèmes qui s'y rattachent sont souvent susceptibles de solutions simples auxquelles échappent les cas les plus généraux.
Je rappellerai, par exemple, comment le théorème de Fourier suffit, dans ce cas, pour déterminer le nombre des racines comprises entre deux nombres donnés. Des faits analogues se présentent dans la recherche de la valeur approchée des racines, et je mentionnerai notamment la proposition suivante :
En désignant par f{x)=^ o une équation dont toutes les raci nés sont réelles et par a une quantité arbitraire^ les deux valeurs de X déterminées par V équation
sont respectivement comprises entre a et les deux racines de r équation proposée qui avoisinent a.
La quantité qui figure ici sous le radical est, à un facteur numérique près, le hessien du polynôme /(j:) et a, comme on le sait, une valeur toujours positive.
De là résulte, pour les racines des équations qui jouissent de la propriété indiquée, une méthode d^approximation spéciale qui permet, avec toute sûreté et sans discussion préalable, d'approcher indéfiniment de la racine immédiatement supérieure ou immédiatement inférieure à un nombre donné. L'approximation est notamment plus grande que celle fournie par la méthode de New-
SUR l'approximation des fonctions circulaires. io5
lOD, surtout quand les racines sont resserrées dans un intervalle assez étroit.
2. Parmi les équations qui ont toutes leurs racines réelles, il convient même de distinguer celles dont le premier membre est UD polynôme satisfaisant à une équation linéaire du second ordre, el, pour le montrer par un exemple, je considérerai ceux qui ont été étudiés par M. Hermite dans sa Note Sur un nouveau développement en série des fonctions ( Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences, 8 février 1864).
Soient a et P deux racines consécutives de l'équation U„= o; elles comprennent une racine \ de l'équation U„^i = o, et le polynôme U/14.1 satisfait à Téquation
De la proposition que j'ai énoncée plus haut on déduit aisément, si Ton remarque que \5n est égal, à un facteur près, à U',,4.1,
et
On a d'ailleurs, en vertu de l'équation (1),
ilem résulte
et psi r suite
a-h-^<X et p--L>X, yn yn
yn
^«i peut ainsi, sans former l'équation aux carrés des didérences et en s'appuyant seulement sur l'équation différentielle à laquelle satisfait U//^.! , trouver une limite inférieure de la différence entre deux racines consécutives de l'équation U«= o.
