SUR QUELQUES PR0PHIÉTK8 DES ÉQUATIONS ALQÈBRIQUES. I

Supposons, en cfTet, que x puisse avoir la valeur imaginaire a -f- pi; on aurait

mod ( I — p -h a 0 = mod ( i -h p — ai) Ou bien

(I— p)«-ha« = (i-hp)*-4-a«,

ce qui est évidemment impossible si ^ est dilTérent de zéro. L'é€[uation (i) a donc toutes ses racines réelles et inégales (*).

â. Xes mêmes considérations permettent de démontrer une impo:K-tanle proposition, due à M. Hermite (*) et que Ton peut CQoim c^er de la façon suivante :

Soient a-h^t, y -h 8/, ..., X-hjxt des quantités imaginair^^j dans lesquelles les coefficients de i ont tous le même sign^ j si l'on pose, pour abréger,

Il(ar— % — pt) = (ir — a — P*)(^ — Y "~ ^0» • -(^ — ^ — kO

l'éqz^ nation

pF{x)-h ç^(x)= o,

où p ^t q désignent des nombres réels arbitraires, a toutes ses raci^^^s réelles.

Cette équation peut se mettre sous la forme suivante

(/>— iq)U(x^oi — ?i)-\-(p -hiq)U(x — 0L—^i)=Oj d'où l'on déduit

(^) modn(a7 — a— P0 = modn(a? — a-h pO»

et il est aisé d'en conclure que x est nécessairement réel.

(* ) ^oir à ce sujet deux Notes de M. Biehier : Sur une application de la méthode cfc Sturm et Sur quelques équations algébriques qui ont toutes leurs racifte^ réelles {Nouvelles Annales de Mathématiques j a" série, t. XIX, p. 76 et

(*) «Sot l'indice des fractions rationnelles {Bulletin de la Société mathématique, t. VII. p. i3i).

M- Biehier est arrivé en même temps au même théorème, qu'il a démontré dans une Note 5iir une classe d'équations algébriques dont toutes les racines sont réelles, insérée au Journal de M. Borchardt, t. 87, p. 3îio.

IIO ALQKBRE.

Ayant, en effet, tracé dans un plan deux axes rectangulaires OX et OY, je représente, suivant l'usage ordinaire, la quantité imaginaire X -h Y/ par le point dont les coordonnées sont X et Y. Soient A, C, ..., L les points qui représentent les quantités a-4- P^, Y -I- 3i, .... X 4- [A t; les nombres p, o, . . . , |Ji ayant tous le môme signe, ces points sont tous situés d'un même côté de Taxe OX, au-dessus de cet axe par exemple; quant aux points A', C, . . . , L', qui représentent les quantités conjuguées a — p«, Y — Sf, ..., "k — [JLi, comme ils sont symétriques des premiers relativement à l'axe OX, ils sont situés au-dessous- de cette droite.

Gela posé, en désignant par P le point représentatif de x^ l'égalité (2) peut s'écrire ainsi qu'il suit :