PROBLÈME D'ALGÈBRE

Bulletin de la Société mathématique de France, t. V ; 1877.

4 . En désignant par Sjjl la somme des puissances d'ordre [Ji des racines de réquation de degré /?, f{x) = o, on peut se proposer de déterminer le polynôme y( a*) connaissant S,, S3, ..., Sa,,^!.

Gomme on a ainsi n équations de condition pour délerniiner les coeiUlcients du polynôme, il est clair que le problème est généralcïï^^^rii déterminé. 11 peut se faire néanmoins qu'il y ail une inlinilé de solutions; car, si Ton satisfait à la question, ce qui, dans certains cas, sera évidemment possible, en prenant pour /{x) un pol>'riônie de degré infcrieitr à /?, en désignant par ç(^^ ) nn poly- '^^ïïie quelconque ne renfermant que des puissances paires de jr, ^^ V satisfera aussi en remplaçant /(.r) |)ar/(x)-|- '^(x*-):r'", les ^^efficients de C5(x-) et l'exposant m étant du reste arbitraires, pourvu que le degré de Tex pression précédente soit égal a n,

2. Pour poser d'une façon plus j)récisé le problème à résoudre, J^ l'finoncerai ainsi :

déterminer un polynôme f{x)^ de degré égal ou inférieur ^ ^ y jouissant de la propriété énoncée et tel, que f{x) et f{ — x) ^ ^^ient aucun facteur commun.

Il est facile alors de démontrer que si le problème a une solu- ^^^ïï, le polynômey(j:) est parfaitement déterminé.

A. cet effet, posonsy( — j')= 'f (*^); d'après ce que je viens de

^^'ï^e, la fraction ^, — - sera irréductible. Soient de plus a, b. c,, , .

^^s racines de réquationy*(x)= o, on aura évidemment

I30 AI.UKUI(K.

l'expression ( — ^ ) désignant, en général, sans que je me préoccupe des valeurs des coefficients, une série développée suivant les puissances de - et commençant par un terme d'un degré au plus égal à

En intégrant Téquation précédente entre les limites x et oc, il viendra

^^/(^)~" ^L^ ^ ^•^^^"^ (2n-i)x»«-»J"'"\a7»'»-^-v' ou, en posant, pour abréger,

et en passant des logarithmes aux nombres,

^ ^ /{X)^\x^n.lj

3. La détermination du polynôme /{:^) est donc ramenée à la question suivante :

Déterminer une fraction rationnelle irréductible dont le dénominateur et le numérateur soient d'un degré au plus égal à n^ et qui soit égale au développement de e^^, en négligeant les termes d'un

ordre supérieur à celui de — ^- Il faut, en outre, qu'en désignant

pary*(j;)ce dénominateur, le numérateur de la fraction soit égal à/( — x)] mais, comme je le ferai voir, il n'y a pas à se préoccuper de cette condition, qui sera satisfaite d'elle-même si la première condition est remplie.

Je démontrerai d'abord qu'il ne peut exister qu'un seul polynômey(jc) qui y satisfasse; en effet, siy*i(j') était une autre solution, on aurait évidemment

d'où

T(^)/i(^)-/(^)?i(^)=/(nA(^)(^i^)»

relation évidemment impossible, à moins que le premier membre

sril UN PROnLLMK DALCitlUlK. 1 J I

ne soit nul; car c'est un polynôme entier en x, tandis que le second membre (s'il n'est pas nul) se développe suivant une série

commençant par un terme en - 7 puisque chacun des polynômesy(u:)

el fx (x) est d'un degré au plus égal à n.

La relation précédente ne peut donc avoir lieu que si l'on a

o(x)/i{x)—/(x)^i{x)=o ou encore

et, si l'on suppose ces fractions irréductibles, /"i (x) ne doit dilTéi*er que par un facteur constant de f{jo).

Ce polynôme n'étant pas d'ailleurs, par liypothèse, divisible par Xy on peut supposer que le terme constant qui y entre est égal à Tunilé^ il est alors complètement déterminé.

i. Cela posé, il est facile de prouver que, la fraction irréductible -^ — ■ avant été déterminée par la condition ci-dessus énoncée,

s(x) est égal 'A f{ — x).

En effet, W ne renfermant <|ue des puissances impaires de x, en changeant x en — x dans l'équation (i), il viendra

eîw JX^x) \x^"-^^)' d'où, par une transformation facile,

le polynôme ©( — ^r), d'après ce que je viens d'établir, ne peut différer que par un facteur constant de f{^)\ d'ailleurs, e-^, pour x = o, se réduit à Tunité; donc le premier terme de î5( — x) est aussi l'unité et, par suite,

5. Le problème est donc entièrement ramené à trouver un polynômey(x), de degré au plus égal à /i,et satisfaisant à l'équation (i); mais on peut supposer quey"(jr ) soit effectivement de degré /i, en faisant abstraction de la condition imposée jusqu'ici, à savoir que 5(.r) ei/(x) sont premiers entre eux.

133 ALUKBKE.

Effeclivemenl, siy'(jr) était d'un degré m < /i, il suffirait de multiplier les deux termes de la fraction -j-, — - par un polynôme arbitraire de degré (/i — m) pour obtenir une fraction satisfaisant à la relation (i) et dont le dénominateur soit du degré n.

Nous poserons donc/(x)= i H-r/a*-!- ta--h...-h Ix^ ; a,b^.,.J désignant n coefficients indéterminés, et nous exprimerons que le

produit e2^y(j:) manque des termes en ->-.?•••? — ; nous aurons

ainsi, pour déterminer les n coefficients inconnus, n équations linéaires avec second membre.

Généralement, le déterminant de ces équations étant différent de zéro, elles fourniront pour les coefficients des valeurs bien déterminées; le pohnôme f{jo) sera donc eflectivemenl du degré n.

Si le déterminant est nul, il se peut que le problème n'ait pas de solution; s'il y en a une infinité, on déterminera Tun quelconque des poljnômesy(j:*) satisfaisant aux équations, et Ton en déduira le numérateur correspondant 'f(j^); on réduira ensuite la frac-

tion ■^. — - à sa plus simple expression : le dénominateur de la frac-

lion irréductible ainsi obtenue sera la solution clicrcbéc, et son degré sera inférieur à /?.

6. Il est clair que Ton peut remplacer l'expression e-^ par toute autre expression dont le développement coïnciderait avec elle jusqu'aux termes de Tordre de — - inclusivcnienl.

où m désigne un nombre quelconque, et si Ton forme la réduile dont le dénominateur /(:r) est de degré /i, les racines de l'équation f(^x)= o jouiront de la propriété que les sommes S,, S3, ..., S2«i soient toutes égales à m,

7. Les résultats obtenus dans cette Note peuvent s'énoncer ainsi : Les coefficients d'un polvnonie de degré n s'expriment rationnellement en fonction des fonctions s^ métriques S,, S3, ..., Saw-i des racines de l'équation f{x)=^ o. Crcsl ce qu'il est facile du reste de vérifier au moyen des formules de Newton, au moins pour de f)etiles valeurs du nombre /?.

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