AYANT UN NOMBRE DONNÉ DB RACINES IMAGINAIRES

Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences y l. XC; i8$o.

Il est très facile de former des types d'équations ayant toutes leurs racines réelles, et de celles-là on déduit, comme on le sait, parles moyens les plus élémentaires, un nombre indéfini d'équations qui ont toutes leurs racines imaginaires ou du moins ne peuvent avoir qu'une racine réelle.

Il est moins aisé de former des équations ayant un nombre déterminé de racines réelles et un nombre déterminé de racines imaginaires; l'étude des polynômes entiers qui satisfont à une équation différentielle du second ordre fournit néanmoins un grand nombre de solutions de ce problème.

Pour en donner un exemple, je considérerai Téquation

d^y . . dy

à laquelle satisfait le dénominateur /^ de la m*"** réduite de la transcendante

On a, comme on le sait (*),

/** e -' dx (•) Voir ma Note Sur V intégrale j {Bulletin de la Société mathé-

matique de France, l. VII. p. 72).

et l'équalion/m^ o a toutes ses racines réelles, inégales et négatives. Deux polvnùmes/n, et/n, où m et n désignent deux nombres entiers dilTérenls (je supposerai m'^n), ne peuvent, d'ailleurs, avoir de racine commune.

Cela posé, des deux identités

on déduit aisément l'cgalilé suivante, on j'ai posé, pour abréger l'écriture,

L'équation Y =^ o a, du reste, toutes ses racines inégales; car. ai un nombre a annulait à la fois V et sa dérivée, il annulerait évidemment un des polynômes/™ el/„ sans annuler l'aulre; en supposant qu'il annule /m, il devrait annuler également /"„,, ce q«ii est impossible, puisque l'équation /)„^o a toutes ses racines

De la relation précédente on déduit

En désignant, avec Cauchy, par la lettre I l'indice d'une fonction et par E une quantité positive très petite, j'en tire l'identité

Iî^=I[(.

où le premier membre est, au signe pr^s, le nombre p des racines négatives de l'équation V = o, puisque le facteur x demeure négatif dans l'intervalle considéré. Dans le second membre, on peut négliger le terme — (j;-l-t"), qui ne devient jamais infini pour aucune valeur finie de la variable, ainsi fine le facteur positif (m — n).

SUR LA DÉTERMINATION DLQUATIoNS NUMÉRIQUES. I2J

On a d'ailleurs, d'après une proposition fondamentale due à Cauchv,

I'fmfn T Jnf m ftn f n ,

J nj m J mj n *• Jinjn

il suflil, pour le voir, de remarquer que le rapport

fn/'m — fmf'n __ i^ — n)^:"»^'»-* -h . ..-4-(m — /i).i,9-.3...m.i.2.3.../i

fmja Jr'«-^-« -4-...-i-I.2.3.../n.l.2.3.../l

est négatif pour x = — oo et positif pour x ^^ — e.

Les polynômes y*;,, et/*,, étant premiers entre eux, on a

fnf m fmfn |" f m J / n = ^^ ,1

If nJ m J n\J n T J m T fmfn ~ I /,« 1

Jmjn *. Jm Jt y«

— to — «O —«0

d'où

En désignant de même par 0 le nombre des racines positives die Téquation V = o, on a

fn f m — fm f n

ce nombre se réduit à

JnJ m f>nj n

*• J injn

puisque le rapport ^'^-'"^ jmjn conserve le même signe pour

jr = e et pour a: = oo. Il est, du reste, égal à zéro, puisque l'équaùonfmfn=^ o n'a pas de racine positive.

On en conclut que Téquation V = o n'a pas de racines réelles positives, et, comme elle a seulement m — n -^ i racines rSelles négatives, elle a 2/i racines imaginaires.

SUR LES