DONT LE PREMIER MEMBRE SATISFAIT A UNE ÉQUATION LINÉAIRE

DU SECOND ORDRE

Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XC; 1880.

1. Les équations algébriques dont le premier membre satisfait à une équation dilTércntieile linéaire du second ordre jouissent de propriétés particulières qui, pour la solution d^un grand nombre de problèmes, fournissent des méthodes tout à fait spéciales.

En me bornant ici au cas où elles ont toutes leurs racines réelles, je prendrai pour point de départ la remarque suivante.

En désignant par F(:r)= o une équation algébrique de degré /i, dont toutes les racines sont réelles, et par a une quelconque de ces racines, si Ton pose, pour abréger,

il est clair que réquationy(x)= o a également toutes ses racines r/'elles; par suite, son hcssien

ne peut avoir une valeur négative, et en particulier l'expression (/i — 2)/'^(a) — (/i — i)/(a)/"(a) est positive ou nulle. On a d'ailleurs, comme il est facile de le voir,

/(a)=F'(a), /'(a)^ et /"(«)= L^i^,

(Toù rinégalité

^f/i-'j^^F'^Ca)— 4(n — i)F'(a)F"'(a)io.

Supposons inainlcnanl que le polMiùine F satisfasse à Féqua-