SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

lion dlfférenlielle linéaire du second ordre

il satisfait également à Téquation

qn^ l'on déduit de la première par dérivation, et de là résultent, eim faisant x = ol, les deux relations suivantes,

PoF'(a)-f-QoF'(a)=o, PoF'^(a)-f-(Qo-4-P'o)F'(a)-+-(Ro-i-Qi)F(a)=o,

oÎA l'indice o indique ce que deviennent les coefficients quand on y Sk remplacé x par a.

Elles donnent des valeurs respectivement proportionnelles à P^( a), F''(a), F'"(a), et l'on en conclut sans peine que le polvnôme

û = PR ^- PQ'— QP'— ,^"^^ Q«

3 la Be valeur positive ou nulle quand on y remplace x par une ra- <^'^^c quelconque de l'équation V(x)= o.

Si donc on suppose que ù ne soit pas positif pour toutes les valei.iTs de x^ on déduira de là des limites entre lesquelles sont c^rinprises les racines de cette équation.

Je ferai remarquer en passant que, si Q avait constamment une valeur négative, on en conclurait avec certitude que l'équation pt^oposée a des racines imaginaires.

I. Comme première application, je considérerai les polynômes Uj» étudiés par M. Hermite dans sa Note Sur un nous^eau dével^A^j)ement en série des fonctions ( Comptes rendus des séances d^ V Académie des Sciences, t. LVIII), et qui satisfont à l'équalion différentielle

y*— jry -1-/17 = 0.

On trouve sans peine Çk=z n — i — — x^\ on a donc, pour

toutes les racines de l'équation U„= o,

iv!8 ALoknuK.

et ToQ voil que la valecir al)soliic de la plus grande racine est au plus égale a - •

Il est facile d'obtenir, du reste, une limite plus rapprochée et en même temps une limite de la valeur absolue de la plus petite racine. En supposant d'abord n pair et égal à 2/7î, je poserai j?^= Ç, en sorte que U/,(j") se transforme en un polynôme V« du degré m en Ç, satisfaisant à Téquation différentielle

^ cf^y . t. dy

on a alors

il = '}.m\ — i — — :(! — ?)*

et Ton en conclut, en remplaçant \ par sa valeur x^^ que les valeurs absolues des racines de Téquation U/,= o (lesquelles sont deux à deu\ égales et de signes contraires), sont comprises entre les deux racines positives de Téquation

En V faisant successivement m = i et /?î = 2,on obtient les équations

3(a:»— i)«=o et 4(.r*— 6ar« -h 3)= o,

qui déterminent exactement les racines des équations U2 = o et LJji= o.

Supposant en second lieu n impair et égal à 2/?î + i, et posant

encore x^=z Ç, je remarque que -^ — - est un polynôme V,, du degré m en Ç et satisfaisant à l'équation différentielle

f/i -y fly

^^77^ +(3 — ?) -^-f-wr = 0,

et Ton en conclut immédlalcnienl que la valeur absolue des racines de Téqualion U2W4.« = c) (al)slraclion faite de la racine zéro) est coinpiisc entre l(*s (1(mi\ lacines posiiives de Téqualion

( m -f- •}. ).r'* — .;.( \ m^- — tu -h G )x'^ -\- 33 /// — (i = o.