SUR LES ÉQUATIONS ALGKBRIQUKS

Pour m = I elle devient

et pour /?! = 2

4(j?*— loa-'-f-i^)— o;

dans ces deux cas, elle donne les valeurs exactes des racines des équations U3 = o et Ur, = o.

3. Comme second exemple, je considérerai les polynômes de Legendre X» qui satisfont à Téquation différentielle

On a

d'où Ton conclut que toutes les racines de l'équation X„= o sont inférieures en valeur absolue à

En effectuant, comme plus haut, la substitution x^-= S, on peut déterminer une limite plus approchée et en même temps une limite de la valeur absolue de la plus petite racine.

En supposant d'abord n pair et égal à a m, on trouvera sans peine que les valeurs absolues des racines de Téquation X2/w=:o sont comprises entre les deux racines positives de Téquation

(3a:*— i)*+ 'Àm{ini -f- \){x^— a?')-+- Ga?*— 4 J^*-H a = o.

Pour m = I elle devient

(3t«— i)« = o, cl pour m = 1

35^*^ — 3oar*-i- 3 = 0;

dans les deux cas, elle donne exactement les racines des équations X2= o et X, = o. Pour m = 3 elle devient

l3o ALOBERF.

dont les racines positives sont 0,2373... et 0,9335... ; les valeurs absolues de la plus grande et de la plus petite racine de l'équation Xo= o sont, d'après Gauss, o,2386. . . çt o,93q5. ...

En second lieu, si n est impair et égal à 2/?i + 1 , on trouve que les valeurs absolues des racines de Téquation X^m+i = o sont comprises entre les deux racines positives de l'équation

— ; (5x* — 3)'-h imiim -h 3)(x*— a?*)-»- loa?* — iax*-h6 = o.

Pour m = I elle devient

et pour m = 2