r*— 7ox*-h i5 = o

dans les deux cas, elle détermine exactement (abstraction faite de la racine x = o) les racines des équations Xj = o et X5 = o. Pour /n = 3, elle devient

dont les racines sont o , 4^23 1 ... et o » gSo. . . ; les valeurs absolues de la plus petite et de la plus grande racine sont o,4o58. . • et 0,9492

4-. L'expression Q, que j'ai considérée précédemment, jouit d'une propriété remarquable qui mérite d'être signalée.

Soit un polynôme, de degré /i, F(a:), satisfaisant à l'équation différentielle du second ordre

en désignant par a, p, y et S des constantes arbitraires, il est clair que (y -\- SÇ)" F l ^p j est également un polynôme entier du degré ai par rapport à Ç. Ce polynôme, que j'appellerai /(Ç), satisfait à une équation différentielle du second ordre qu'il est facile de former.

De Téqualion

SUR LES ÉQUATIONS ALOÉDRIQUES. l3l

on lire en effet, en posant, pour abréger,

A: = Py — «3 et £ = Y -h ^5, dx __ k

d^où les relations suivantes :

, rfv e* « d'^y Ê* Ôê* dy

On en conclut que l'expression F( k| ] satisfait à Téquation

différentielle

et, en posant

que le polynôme /(Ç) satisfait à l'équation

-î- I n(/i — i) — j^j n -jp -h RI a = o,

que j'écrirai, pour abréger l'écriture, de la façon suivante :

d^u du

Plm -^^7rf^'' = ^

En désignant par €u(Ç) l'expression

on trouvera sans peine la relation suivante :

En particulier, si Q et (o sont des polynômes de même

l5à ALGÈBRE.

(ce qui a lieu dans le cas le plus général), el si, à cause de Thomogénéilé, on introduit les variables y et yj, on voit que le polynôme (u(Ç, Tj) se déduit du polynôme Q(x,y) par la substitution

Q joue donc ici le rôle d'un covariant