LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Nouvelles Annales de Mathématiques, 3* série, t. XI\; 1880.

1. Soient a et  les affixes de deux quantités imaginaires x et X, liées entre elles par la relation linéaire

OÙ a, ^, Y ^^ ^ désignent des quantités imaginaires quelconques ; il est aisé de voir que, quand le point a décrit un cercle (ou une droite), il en est de même du point A. Je m'appuierai fréquemment sur cette propriété très simple, qui se rattache immédiatement à la théorie bien connue de la transformation par rayons vecteurs réciproques.

2. Dans tout ce qui suit, la variable Y et les quantités analogues j', 7|, . . . sont égales à Tunité et uniquement introduites pour l'homogénéité des formules; je les remplacerai même souvent par l'unité lorsqu'il n'y aura lieu de craindre aucune confusion.

Cela posé, soit l'équation

où /(X, Y) est un polynôme homogène et du degré n par rapport à X et Y. Désignons par a l'afTixe d'une quantité imaginaire quelconque X et par a l'affixe de la quantité Ç qui est déterminée par Téquation

l34 ALGÈBRE.

On peut énoncer la proposition suivante :

Tout cercle passant par les points a et a. renferme au moins une racine de V équation (i); il y a aussi au moins une racine à ^extérieur de ce cercle.

Exceptionnellement, toutes les racines peuvent se trouver sur la circonférence du cercle; si cette circonférence, du reste, passe par (n — i) des racines, elle passe nécessairement par la fiieme racine.

Pour démontrer cette proposition, je remarquerai que, la relation (a) qui lie entre elles les quantités ^ et x étant projective, il su (Kit de l'établir pour une position particulière du cercle et des points a et a.

Je supposerai donc que le cercle se réduit à Taxe des abscisses et que Ton aj!;=:ooeti=:o;la relation (2) se réduit alors à

et, comme b est la somme algébrique des racines, on voit que, si toutes les racines ne sont pas réelles (c'est-à-dire si elles ne sont pas toutes situées sur Taxe des abscisses). Tune au moins doit être située au-dessus de cet axe, tandis qu'une autre est située audessous.

La proposition est donc complètement démontrée.