Plus généralement, considérons les divers émanants
du polynôme f.
Soient 6 l'un quelconque de ces émanants, \ ei x deux quantités quelconques liées par la relation
on a le théorème suivant :
Tout cercle passant par les points xet\ renferme au moins une racine de V équation (i); il y a aussi au moins une racine à U extérieur de ce cercle
THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS ALGEBRIQUES. l35
Pour le démontrer, je remarquerai que, 0 étant un covariant dey, il suffit de rétablir pour une position particulière du cercle et des valeurs particulières de x et de \, Je supposerai, comme précédemment, que le cercle se réduit à Taxe des abscisses et que Ton a ^ = 00 et Ç = o.
En considérant par exemple, pour plus de simplicité, Téma- Dant du troisième ordre, et en posant
la relation (3) devient
flrÇ3-+-365*-h3cÇ-t-rf=o,
d'où Ton déduit é/=o; et de là résulte immédiatement que, si l'équation proposée n'a pas toutes ses racines réelles, il y a au moins une racine imaginaire dans laquelle le coefficient de i est positif et au moins une dans laquelle il est négatif, ce qui constitue précisément le théorème que je veux démontrer.
En supposant en effet que, dans toutes les racines imaginaires de Téquation (i), les coefficients de i eussent le même signe, et en posant, pour abréger,
il résulterait d'une remarque importante faite par M. Hermite et M. Biehler que l'équation /?F -f- 7^ = o aurait toutes ses racines réelles, quels que fussent les nombres réels p et q.
Faisons, ce que l'on a toujours le droit de faire, a = i , et, mettant en évidence la partie réelle des autres coefficients, posons
il vient, en remarquant que d est nul,
(pF -h q^ =px'*-h /i(/>P -h q^')x"-^-\ {P^ -h qY)^'*~^
Or on peut toujours trouver deux nombres/? et q qui ne soient pas nuls en même temps et tels que Ton ait
l36 ALGEBRE.
mais alors réqualion manquerait des deux termes consécutifs en x"'* et x""^ ; ce qui est impossible, puisqu'elle a toutes ses racines réelles.
Ce raisonnement serait en défaut si les coefficients de ^" etx""* dans (4) s'annulaient en même temps; mais on aurait dans ce cas P'= o, et cela ne peut avoir lieu, puisque p' est la somme de quantités ayant toutes le même signe.
La proposition est donc entièrement établie ; je ferai encore observer, comme précédemment, que, dans certains cas particuliers, toutes les racines peuvent se trouver sur la circonférence du cercle.
i. On déduit du théorème précédent une conséquence importante.
Soit K un cercle (ou une droite) quelconque tracé dans le plan ; il le divise en deux régions distinctes. Supposons qu'une de ces régions renferme toutes les racines de l'équation (i) et que le point X soit situé dans l'autre région ; je dis que toutes les racines de l'équation S = o sont situées dans la région limitée par le cercle et qui renferme toutes les racines de l'équation (i).
En effet, si l'une des valeurs de Ç satisfaisant à l'équation B = o était située dans la même région que le point x^ par les deux points j: et Ç on pourrait faire passer un cercle tangent à K; la portion du plan limitée par ce cercle et ne renfermant pas K devrait renfermer au moins une racine de l'équation (i), ce qui est impossible, puisque toutes les racines de cette équation sont comprises dans la région qui ne renferme pas le point x {*).
5. 11 résulte de la proposition précédente que, si l'équation (i) a toutes ses racines réelles, l'équation 6 = 0 (où Ton considère l'une des variables j: et Ç comme inconnue, tandis qu'on attribue à l'autre une valeur réelle arbitraire) a toutes ses racines réelles.
(*) J'ai énoncé pour la première fois les théorèmes précédents dans une Note Sur la théorie des équations numériques, insérée dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. LWIX, p. y^G.
