THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
En particulier, Téquation
a toutes ses racines réelles, quelle que soit la valeur réelle attribuée à x, et de là résulte immédiatement cette proposition imporlaale que j^ai eu plusieurs fois occasion d'employer :
Si Inéquation f=^ o a toutes ses racines réelles, le hessien du polynôme f
a toujours une valeur positive ou nulle,
b. On voit aussi que, si Téquation (i) a toutes ses racines réelles, il en est de même de Téquation Ç/'^. + /'^=o.
Réciproquement, si, quelle que soit la valeur réelle attribuée ^ s> celte dernière équation a toutes ses racines réelles, il en est ^^ même de l'équation (i).
Pour établir cette proposition, je remarquerai d'abord qu'en posant F = 5/^+/^, l'équation F = o ayant par hypothèse toutes ses racines réelles, l'expression F^^. — Fj.»F.. a toujours une valeur positive, quelle que soit la valeur de Ç. O** on a
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^^' S^sind on fait Ç = j:, ces expressions ont des valeurs rcspectiveineni proportionnelles à/;,, fly et/;, (*), d'où il résulte que '^^r jC«/y« a toujours également une valeur positive.
^^l^ posé, étudions comment varient les racines de l'équation
^^ o quand Ç varie depuis — oo jusqu'à + oo.
^'^ désignant par Ç' la dérivée de Ç par rapport à j:, on a
) Ceci suppose cvidcmnicnt /i > a.
puis, en venu de la relation \f'^-\-f^^ o,
or de là résulte que \' est toujours négatif.
Ainsi, quand S croît de — oo à +qo, les diverses raciaes de l'équation F ;= o vont toujours en décroissant.
Elles ont toujours d'ailleurs des valeurs distinctes (si l'on suppose, ce que l'on peut toujours faire, que l'équationy^ o n'a pas de racines égales) ; car, si, pour deux valeurs difTérentes de Ç, l'équation F ;= o était satisfaite par la même valeur de x, on aurait à la fois
et
ce qui esigereitque l'on eût en même temps/^= o ety^.^ o; or cela est impossible, puisque l'équation /^ o n'a pas de racines égales.
Pour fixer les idées, supposons n = (j^et soient, pour$ = — oo, «, P et Y les racines de l'équation F = o ; quand Ç varie de — oo à -{- 00, la racine de l'équation F ^ o dont la valeur initiale est a va constamment en décroissant, passe de — oo à + ao et acquiert finalement la valeur •^\ la racine dont la valeur initiale est p va constamment en décroissant et acquiert finalement la valeur a. De même, la troisième racine décroît constamment depuis y jusqu'à ^.
La variable \ croissant constamment depuis — oo jusqu'à -J-oo, il y a nécessairement un instant où elle a la même valeur que la troisième racine; â ce moment, \ étant égal à :r, on a
d'où il suit que cette valeur de \ est une racine de l'équation (i).
L'équation (i) a ainsi une racine comprise entre y et p; on prouverait de même qu'elle en a une comprise entre ^ et a, une autre entre a et — oo et une dernière entre -f- od et y; elle a donc toutes ses racines réelles.
