Comme application, je considérerai l'équation

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQtES. 1^9

Pour que cette équation ait toutes ses racines réelles, il faut et il suffît, diaprés ce qui précède, que Téquation

5(3ar*H-/>)-4- 2/>ar-f- 3^=0

ail toutes ses racines réelles, quelle que soit la valeur de Ç. De là résulte que

doit toujours être positif; ce qui exige que 4/>' -+- ^TÇ^ et p soient négatifs. On retrouve ainsi Féquation de condition bien connue

8. La propriété du hessien d'un polynôme /* décomposable en facteurs réels du premier degré, que j'ai mentionnée plus haut, à savoir qu'il a une valeur constamment positive, est un cas particulier de la proposition suivante, qui a d'utiles applications.

Si le polynôme / est décomposable en facteurs réels du premier degré et si Von attribue à la variable x une valeur imaginaire quelconque a + ^Z, le coefficient de i dans toutes les racines de Inéquation S = 0 est de signe contraire à celui de p.

Cette proposition est un corollaire immédiat d'un théorème général que j'ai démontré plus haut (n^ 4).

En particulier, si l'on fait x = a -+- p/ dans l'expression

le coefficient de i dans le résultat de la substitution est de signe contraire à celui de p.

I] en est de même des diverses expressions

(n-i)/' (/1-2)/ X jif 9 X j^ , • • . j

puisque, quand l'équation /== o a toutes ses racines réelles, les

l4o ALGÈBRE.

équations /'= o, /"=o, ... (*) jouissent de la même propriété.

9. Comme application, en désignant par f un polynôme décomposable en facteurs réels inégaux du premier degré et par a et b deux constantes réelles arbitraires, je considérerai Téquation

En substituant successivement dans le premier membre de cette équation — oc, puis les racines de Féquationy= o et enûn H-oo, on constate aisément qu'elle a toutes ses racines réelles si 6 est <^ o et qu'elle a au plus deux racines imaginaires si b est > o.

Dans ce dernier cas, désignons par a-|- Pe une de ces racines; il résulte de ce qui précède que, si Ton remplace x par cette valeur dans l'expression

le coefficient de i dans le résultat de la substitution doit être de signe contraire à p.

Or, en vertu de l'équation (4), elle se réduit à

nb

X — a et, en faisant :r = a -f- P«, à

^ a — a — pt

OÙ le coefficient de i est

Ayant donc i — , — û:<Io, on en déduit tout d'abord,

comme je l'avais trouvé directement, que l'équation (4) ne peut avoir de racine imaginaire que si b est ^ o.

( » ) Ici, ainsi que dans tout ce qui suit, je désigne par /', /", Z*^, ... les déri vées de / prises par rapport à la variable x.

THEOREMES GÉNÉRAUX SUR LES EQUATIONS ALGÉBRIQUES. l^i

On voit en second lieu que, si b est >> o, et si V équation a deux racines imaginaires, elles sont renfermées dans r intérieur du cercle dont Inéquation est

(X — a)î-hY*=/i6.

Il est remarquable que la position de ce cercle ne dépende pas de la valeur des racines de l'équation /= o.

10. Considérons une équation y = o à coefficients réels ou imaginaires; soient/?, />', /?", ... les coefficients de i dans ses racines et ^ un nombre quelconque égal ou supérieur au plus grand de ces coefficients. Traçons dans lo plan la droite parallèle à Taxe des abscisses et dont l'ordonnée a pour valeur p; on voit que toutes les racines de réquation/= o sont situées au-dessous de cette droite ou sur cette droite, et, en vertu d'une proposition énoncée ci-dessus, il en est de même des racines des équations

/ = o, /''=o, /'"=o, On en conclut que, si dans les expressions

on remplacer par la quantité a+ pf, où a désigne un nombre réel arbitraire et ^ le nombre défini ci-dessus, le coefficient de i clans les résultats obtenus est inférieur à ^.

Soient F = o une équation quelconque de degré n et a-t-p* celle de ses racines pour laquelle le coefficient de / a la plus grande valeur; en posant, pour abréger,

on voit que, dans les expressions

an-?f-

/'(5t-+-'fJe)

le coeflicicnl de /est plus pelit que p.

l4a ALOKBRE.

On trouve aisément d'ailleurs

/(a + pi)=F' (a-f-pi), /'(a + ?0=Ç(«-t-P').

d^oii la conclusion suivante :

Étant donnée V équation du degré n

désignons par a4- p* celle de ses racines (*) pour laquelle le coefficient de i a la plus grande valeur; cela posé, les coefficients de idans les expressions

F(a-+-pg) F'(a-hPt)

sont tous positifs,

H. Comme application, je me propose de montrer que le polynôme du degré /2, étudié par M. Hermile et qui satisfait à l'équation différentielle linéaire du second ordre

(5) /'-ar/'-h/i/=o,

a toutes ses racines réelles.

Cette proposition bien connue peut s'établir par les considérations les plus élémentaires ; je crois néanmoins, dans cette question importante de la détermination de. la nature des racines d'une équation, qu'il est utile d'étudier toutes les méthodes qui peuvent conduire au résultat.

Supposons donc que l'équation /* = o ait des racines imaginaires, et soit a-h p/ celle d'entre elles pour laquelle le coefficient de i est le plus grand. Je remarquerai tout d'abord que, l'équation

(') Plus exactement : l'une quelconque des racines pour lesquelles le coefficient de i a la plus grande valeur. Il pourrait se faire en effet que plusieurs racines ne différassent que par leur partie réelle.

THÊORÈUES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. i43

avant ses coefficients réels, les racines sont conjuguées deux à deux; par suite, 3 a une valeur positive. J'observe ensuite que l'expression

se réduit à

ot -h p i '

en vertu de l'équation différentielle (5).

Or, le coefficient de i dans cette expression est le nombre essen-

tiellement négatif -5 — ^» ce qui, d'après la proposition énoncée

plus haut, est impossible. L'équation a donc toutes ses racines réelles.

La même démonstration s'applique au polynôme de Legendre X.^ qui satisfait à l'équation différentielle

En conservant les mêmes notations que ci-dessus, on voit encore que, en vertu de cette équation différentielle, l'expression