PROPRIÉTÉ DES POLYNOMES X DE LEGENDRE
Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences,
t. XCI; 1880.
1. Étant donné un polynôme entier F(x), on sait que Ton peut toujours, en désignant par A, B, . . ., H, K, L, ... des coefficients constants, poser identiquement
F(x) = ÀX,„-h BXp-h. . .4- HXr-+- KX,-+- LX,-+-
Je supposerai que les nombres entiers m^ p^ ... soient rangés par ordre croissant de grandeur; cela posé, on peut énoncer le théorème suivant :
Le nombre des racines positives de V équation ¥{x)=o^ qui sont égales ou supérieures à V unité, est au plus égal au nombre des variations que présentent les termes de la suite
Pour établir cette proposition, je ferai voir que, si elle est vraie quand la suite précédente présente {n — i) variations, elle subsiste encore quand le nombre des variations est égal à n; la proposition sera ainsi démontrée, puisqu'elle est évidente quand tous les coefficients sont de même signe.
A cet effet, en supposant que la suite (i) présente n variations et que H et K soient deux coefficients consécutifs et de signes
contraires, je considère l'expression ^ ? qui s'annule en même
temps que F(j:) et demeure finie et continue pour toutes les valeurs
de X égales ou supérieures a 1 unité; en posant -^ =t— = —hj^^
on déduit du théorème de Rolle
(*) Ici, comme dans lout ce qui suit, je désigne par (m) le nombre des racines de l'équalion u — o qui sont égales ou supérieures à l'unité.
SUR UNE PnOPniKTK DES POLYNOMES X^ DE LEGENDRE. l/|5
On a d'ailleurs
des deux équations
(x^— i)X],-¥- ixXp = p{p -^ i)Xp et
où p désigne un nombre entier quelconque, on déduit
^[(ar«-i)(X;,X,— X;X^ )] = [/.(/> -^1)- ^(5 -f-i)]X,,X,;
d'où
^^(ar«-i)/(^)=X,*(x),
ou
4>(jr)= A[m(/n -H I)— 5(5-4- i)]Xj
-+-H[r(r-+-i)— 5(5H-i)]X;.-f-L[/(f-M)— 5(5-M)]Xf-h
Or, si l'on considère les signes des coefficients de celte expression, on voit qu'ils diffèrent de ceux de la suite (1) en ce que le coefficient de X, est annulé et que tous les coefficients précédents conservent leur signe, tandis que le signe des coefficients suivants est changé; la suite de ces coefficients présente donc exactement (/i — i) variations, et Ton a, par hypothèse,
De l'équation (2) on déduit d'ailleurs, en s'appuyant sur le théorènrie de Rolle et en remarquant que l'équation Xj= o a toutes ses racines inférieures à l'unité,
et des inégalités précédentes on conclut facilement
la proposition est donc entièrement établie.
2. Si l'on transforme Texpression du polynôme ^{.r) en clian-
l4n ALOKBRK.
gcant les signes de lous les polynômes de Lcgendre qui sont d'un degré impair, on voit que :
Le nombre des racines négatives de V équation F(^)=o, dont la valeur absolue est égale ou supérieure à l'unité^ est au plus égal au nombre des variations de la transformée.
On en déduit que :
Si Inéquation a toutes ses racines réelles et si leur valeur absolue est égale ou supérieure à l'unité^ le nombre des racines positives est égal au nombre des variations du premier membre de cette équation et le nombre des racines négatives au nombre des variations de la transformée.
Si la suite des polynômes de Legendre présente une lacune de{oL'-\-i) termes, l'équation a au moins ol racines qui sont imaginaires ou dont la valeur absolue est plus petite que V unité.
Si un terme manque dans la suite des polynômes de Legendre et si les termes avoisinants sont de même signe, l'équation a deux racines imaginaires ou deux racines dont la va-leur absolue est plus petite que l'unité.
