A UNE ÉQUATION LINÉAIRE DU SECOND ORDRE

Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, i. XCIl: 1881.

1. Les méthodes connues pour effectuer la séparation des racines d^une équation sont, même dans le cas où elle a toutes ses racines réelles, à peu près impraticables lorsque son degré est un peu élevé.

I^ problème peut être posé de la façon suivante : Étant donnée une quantité arbitraire S, trouver un nombre ol tel que Vinters^alle compris entre \ et ol renferme au plus une racine de r équation. On en obtient une solution facile dans le cas où, Téqualion ayant toutes ses racines réelles, le premier membre satisfait à une équation linéaire du second ordre.

Considérons, en effet, une telle équation

dont le premier membre est un polynôme du degré n satisfaisant à Téquation différentielle

i> ^ y c\ ^^y i> djT^ ^ (Ijt -^

et posons

F(x, $)= \'>Àn - i)P*-i-i2(.r — \)V^l

Pour une valeur donnée de 5, le polynôme F acquiert une valeur négative quand on remplace x par la valeur d'une (|uelconque des racines de Téqualion (i), sauf les deux racines qui avoisinent ç. Pour ces deux racines, le polynôme peut avoir une valeur po-

1^8 ALOKDRE.

sJlive; il est d'ailleurs toujours positif pour j» = Ç, si l'on suppose que i n'annule pas P. Je ferai rerparquer aussi que F est toujours négatif si l'on remplace ç et j: par les valeurs de deux racines quelconques de l'cqualion (i).

D'où la proposition suivante :

Si l'on donne à $ une valeur arbitraire n*annulant pas P, l'ëqualion F(j:, Ç)=: o a toujours au moins deux racines réelles; en désignant par x' et x" celles de ses racines qui avoisinent Ç, on peut affirmer que chacun des intervalles compris entre les nombres af et \^ \ et x^ renferme au plus une racine de l'équation. La simple substitution des nombres j/, \ et x" fera donc connaître exactement le nombre des racines comprises dans ces intervalles.

La méthode précédente exige la résolution au moins approchée d'une équation qui, généralement, est d'un degré supérieur au second; mais il est toujours possible d'éviter cette résolution en se donnant la quantités (que l'on peut, saufcertaines restrictions indiquées dans chaque cas particulier par la discussion du polynôme F, choisir arbitrairement) et en résolvant l'équation F = o par rapport à la quantité ç, qui n'y entre qu'au second degré.

2. Comme exemple, je considérerai le polynôme U/i, étudié par M. Hermite, et qui satisfait à l'équation

dx^ dx -^

On trouve aisément

¥{Xy^)~ i'i{n — \)-\- 1237(5 — X)

Désignons par A la plus grande racine de Téquation \]n=^ o,

laquelle, comme je l'ai montré (*), est inférieure à — — ^Z^— y et

V /iH- a

par H la racine qui la précède immédiatement; cela posé, si Ç est comj)ris entre — B et -f- B, l'équation F = o a ses quatre racines

réelles. La plus grande est comprise entre A et ^ et, comme

il est facile d'obtenir une limite inférieure de la quantité B, on

(') Notes sur l(t resolution des equdtions numériques, p. (>0.

SUR LA SÉPARATION DES RACINES DES ÉQUATIONS. l49

voit que l'on peut déduire de là une limite supérieure de A. La

plus petite racine est de même comprise entre -^ et — A ;

quant aux deux autres racines a et ^, Tune a une valeur supérieure, l'autre une valeur inférieure à celle de i, et Ton est assuré que les intervalles compris entre les nombres a et i, ^ et ^ renferment au plus une racine de Téquation U„= o.

Donnons à x une valeur arbitraire comprise entre — A et -f- A, et soient, pour cette valeur de x, Ç' et Ç" les racines de Téquation du second degré en l

on peut également affirmer que chacun des intervalles compris entre Ç' et j?, x et Ç" renferme au plus une racine de Téquation proposée.

3. Les considérations qui précèdent s'appliquent entièrement aux équations dont le premier membre est une série indéfinie, satisfaisant à une équation diflerentielle du second ordre et qui peut être regardée comme la limite d'un polynôme entier ayant tous ses facteurs réels. 11 suffit, dans tout ce qui précède, de supposer n infiniment grand.

De pareilles équations s'offrent, par exemple, quand on égale à zéro les transcendantes de Besscl et certaines fonctions circulaires.

Considérons, comme application, l'équation

dont les racines sont