Soit

/(t)= Ax'^-h Bj-«-'— Cx-^-h.. . = o

une équation du degré n.

En posant

fn-i = Aa -f- B, fn-%=\a^ f-Ba-hC,

on voit que le nombre des variations de la suite

(4) fni fn-ïi fn-ii •••» fii Jxi J

est une limite supérieure du nombre des racines de l'équation f(^x)= o, qui sont plus grandes que le nombre positif a {'^).

On peut obtenir une limite plus précise, en prenant pour point de départ une règle due à Newton et qui a été Tobjet de beaux travaux de M. Sylvester.

Formons, en efiel, la suile

I (/«— 2)/î — (71 — r)/,/,, (n — D/l—n/if, n/i — {n-^i)a//i,

qui se compose d'un nombre de termes précisément égal au nombre des termes de la suite précédente.

(•) Nous avons supprimé les deux premiers numéros de celte Noie, qui ne sont que la reproduction de propositions déjà données (p. 27 et ?.S). K. H.

(') Ce théorème a été déjà démontré à la paj;e <>. E. W.

l53 ALGÈBRE.

On démontrera aisément la proposition-suivante :

Le nombre des racines de Véquation f{x)=^ o, qui sont supérieures à a, est au plus égal au nombre des variations de la suite (4) qui correspondent à des permanences de la suite (5).

Cette règle sera souvent d'une application plus commode que celle de M. Sylvester, puisqu'elle exige seulement le calcul des nombres/,,, /«i, • • •? /i> /> dont la valeur s'offre d'elle-môme quand on calcule le nombre /(a).

Comme application, je considérerai l'équation

Cette équation ne peut avoir de racine négative. En substituant + I dans la transformée en -? on voit immédiatement qu'elle n^a

pas de racine inférieure à -f- i. En substituant -h i dans le premier membre de l'équation, on obtient la'suite

qui présente trois variations; Téquation peut donc avoir une ou trois racines positives.

Mais, si l'on forme la suite auxiliaire

-hi, — 3, -+-5, -h II,

on voit qu'il n'y a qu'une seule variation de la première suite à laquelle corresponde une permanence dans la seconde.

L'équation proposée a donc une seule racine réelle qui est supérieure à l'unité.