SUR LA SEPARATION

DES

Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences^ t. XCII; 1881.

1. On peut trouver aisément un grand nombre de théorèmes qui fournissent une limite du nombre des racines d*une équation qui sont comprises entre deux nombres donnés. Il semble même que cette multiplicité de propositions obscurcisse la question plutôt qu^elle ne l'éclaircit^ c'est, en effet, un problème difficile à résoudre que de déterminer, une équation étant donnée, quelle est celle des règles dont l'emploi est le plus avantageux. Je crois néanmoins que leur étude est de la plus grande importance; dans la pratique, les équations se présentent en effet sous des formes bien différentes, et chaque forme d'équation donne lieu^à des théorèmes spéciaux dont chacun présente des avantages particuliers.

J'en ai déjà donné un exemple en montrant comment la règle des signes de Descartes s'étend au cas où le premier membre de Téquation est exprimé au moyen des polynômes de Legendre ou, plus généralement, au moyen de polynômes satisfaisant à une équation linéaire du second ordre. Voici, dans le même ordre d'idées, quelques propositions très simples et qui peuvent être de quelque utilité.

2. Soit, en désignant par co une quantité positive quelconque et par

des quantités réelles quelconques rangées par ordre croissant ou décroissant de grandeur,

(r — ao)" (t— a,)"> (a- — a„-i)«"

l5| ALGÈBRE.

Cela posé, Ç dcsifj^nant une quanlilé quelconque comprise entre a/ el a/^i , le nombre des racines de r équation F(jc) = o, qui sont comprises entre \ et a/^,, est au plus égal au nombre des alternances de la suite

(jr — a/>

Comme application, considérons Téquation

En désignant par s une quantité infiniment petite et en substituant successivement — x, '>.-+-£, 5 — e, 4- ao, on trouve les suites suivantes :

Comme elles ne présentent aucune alternance, on en conclut que la proposée a toutes ses racines imaginaires.