LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

DE LA FORME ——h ^-h...H ^^î— = o(>).

X — a© X — cil X — Un

Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences, t. XGIll; 1881.

3. Soient S el i' deux nombres arbitraires ne comprenant aucune des quantités ^o, aj, ai^ . . . , et tels que les nombres

..., Oi-t, «1-1, ï, Ç', a/, a/^-i, ...

forment une suite croissante ou décroissante.

Le nombre des racines de Téquation proposée, qui sont comprises entre ^ et ^', est au plus égal au nombre des variations des termes de la suite

A/ A/->-| Xj^t A/-I

\f A/h-i A/-HJ A/i

y ~T~ k ï" kf • • • • I b< >

? — «/ Ç — «/-hi 5 — a/+î * * Ç — ««-

J'ajouterai la remarque importante qui suit :

Si Ton désigne repectivement par P et par Q le plus petit et le plus grand des nombres compris dans le Tableau précédent, la valeur de la fonction

T — ai) X — (Il X — a,i

demeure toujours comprise entre P et Q, lorsque x varie enlre q

cti'.

(' ) Nous avons suppriiiu'î les n"* \ cl '2 de celle Noie, qui ne sont que la reproduction du lliêorèuie dénionlré à la pafje ^|i. K. |{.

SUR LES ÉQUATIONS ALOÉDRIQUES. lô;

4. Les considérations précédenles trouvent une application immédiate, lorsque le polynôme du degré /?, qui forme le premier membre d'une équation, est déterminé par les valeurs qu'il prend pour (/i -h i) valeurs de la variable.

Pour en donner un exemple simple, soit le polynôme u déterminé par les conditions que, pour les valeurs de x égales à a, a -f- A, a-\-2h, ..., a-\-nh, il prenne respectivement les vale urs£/o9 <^i7 ^29 ,. -y U/i] on aura, en supposant h positif, la proposition suivante :

Le nombre des racines de r équation w = o, qui sont inférieures à a, est au plus égal au nombre des alternances de la suite

Uq — nui H ^^ W| — . . . ± Wrt,

et le nombre des racines, qui sont supérieures à a 4- nh^ est égal au plus au nombre des alternances de la suite

5. Lorsque Ton suppose que les quantités a^^ ^i, ^2, . . • sont en nombre infiniment grand et infiniment peu différentes les unes des autres, on obtient diverses propositions intéressantes relativement aux équations de la forme

OU /{z) désigne une fonction quelconque de z^ continue ou discontinue, el une quantité constante.

On peut aussi considérer d'une façon plus générale l'équation

où <■> désigne un nombre positif quelconque. Les intégrales qui en constituent le premier membre se présentent, comme on le sait, dans plusieurs questions importantes de l'Analyse. Mais je ne saurais ici m'étendre sur ce sujet, sur lequel j'aurai l'occasion de revenir, si l'Académie veut bien me le permettre.

SUR