DANS LES CRITERIUMS QUI DÉTERMINENT UNE LIMITE SUPÉRIEURE DU NOMBRE

DES RACINES d'UNE ÉQUATION QUI SONT COMPRISES ENTRE DEUX NOMBRES DONNÉS (') .

Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences, t. XCIll; 1881.

2. On peut, dans un grand nombre d'applications du théorème du n® 2o (p. 39), éviter l'emploi des logarithmes. Considérons, par exemple, Téquation

(i ) AoJ^''>H- AiJ7"i-f- AjT^i-t-. . .-+- A,i;r«n= o,

où a©, <2|, «2^ •••? ^n désignent des nombres croissants arbitraires, rationnels ou irrationnels.

Si l'on pose x = ^■"^*, le nombre m des racines positives de l'équation (i), qui sont comprises entre zéro et un, est égal au nombre des racines positives de l'équation

Ao^-^".'» -+- Ai^-«t> -f A2^-''^-^ — . . .-H A„é'-''".> — o, ou encore, co désignant une quantité arbitraire, de l'équation

Ao/»<««>-ao'r-|- A,^(w-«,)r| \^c^tù-a,)y^^ , ^ A„ ^<<'>-""'.> = o.

Supposons le nombre to tellement choisi que toutes les quantités

soient positives.

En faîsantapplication de la proposition précédente et en conservant les mêmes notations, relativement aux quantités/>o,/?i, . .., />//,

( » ) Mous avons supprimé le n" 1 de cette Note, qui n'est que la reproduction du iliéorcmc du n» 25 (p. 39). K. U.

l6o ALOKBRE.

on voit que m est au plus égal au nombre des variations de la suite Polog , Polog ^-/?llog ••.,

'^ ° a> — «1 ^ " o) — ai '^ ° to — fli »

tu — ûti tu — éZt tu — <jtfi

Si nous donnons à (o une très grande valeur, on a sensiblement

tu — Gi Oi^x — ai

D^où la proposition suivante :

Le nombre des racines positives de V équation (\)^ qui sont inférieures à V unité, est au plus égal au nombre des variations de la suite

Po{ai— «o)» Po(ai — ao)-f-^i(aj — a,), /?o(a, — ao)-f-/?i(aî— ai)-+-/?j(a3— «î),

/>o(«i— ao)'\-pi{at— a, )-»-... -h /?„,( a;,— «;,,), p„,

proposition que, dans ma précédente Communication (*), j'avais déduite de la considération de Tintégrale

3. Une autre application importante du théorème fondamental se rencontre dans Tétude des équations de la forme

Ao . Al , Aj Art

j'ai déjà donné des règles permettant de déterminer une limite du nombre des racines qui sont comprises entre deux nombres donnés; mais celles que Ton oblient, en suivant la voie que je viens d'indiquer, sont presque aussi simples et beaucoup plus précises dans un grand nombre de cas.

( ' ) Voir page 38. E. R.