RACINES D'UNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE
DONT LE PREMIER MEMBRE SATISFAIT A UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE LINÉAIRE DU SECOND ORDRE.
Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences ^
t. XCIV; 1883.
i. Il est important, dans un grand nombre de questions, de déterminer, au moins approximativement, dans quelle région du plan sont situées les racines d'une équation algébrique. La méthode suivante peut être employée utilement dans un grand nombre de cas, et notamment quand le premier membre deTéquation satisfait à une équation différentielle linéaire du second ordre.
Elle repose sur la proposition suivante, qui résulte immédiatement des théorèmes que j'ai donnés dans mes Notés sur la résolution des équations numériques,
Soit/(j:) un polynôme du degré /i, et
supposons que Tune des racines de Téquation
soit i-l- 711, et désignons par M Taffixe de cette quantité; désignons de même par M' l'affixe de la quantité X quand on y fait jr = i-f-T,i. Cela posé, si par M on fait passer un cercle (ou une droite) tel que l'une des régions du plan déterminées par ce cercle ne contienne aucune racine de l'équation (i), le point M'est nécessairement dans l'autre région.
Pour montrer, par un exemple simple, l'usage que l'on peut
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faire de celte proposition, je considérerai le polynôme, de degré n,/{x) qui satisfait à Téquation du second ordre
et qui est le dénominateur de la réduite de degré n de e^.
En vertu de cette équation différentielle, pour toute racine de
l'équation (i),
on a
x(jr -»- 2)
'ÀU -h X
Si ^^Ç 4-^ test la racine de Féquation (i), dont le module est le plus petit, on aura, par suite de la proposition énoncée cidessus,
,ar(ar-i-2)
mod — ^^ > modo:,
•An -h X
d'où Ç < — (/i 4- i) et, a fortiori, mod(j?)>' /i 4- i.
On en conclut que le module d'une racine quelconque est plus grand que n + i .
2. En désignant par m une quantité réelle quelconque, considérons toutes les droites parallèles à la droite qui a pour équation mir^ H- i = o. Supposons que cette droite se meuve parallèlement à elle-même, le point où elle rencontre Taxe des Ç se déplaçant toujours dans le même sens vers l'extrémité positive de cet axe.
Soit X = l-hrii\ai première des racines de l'équation (i) qu'elle rencontre pendant ce déplacement. Il est clair que toutes les autres racines sont situées d'un même côté de celte droite et dans la région qui ne contient pas le point Ç = — 00. Il en résulte que si, pour celle valeur de x, on pose
on a
Un calcul facile donne
SUR LA DISTRIBUTION DANS LE PLAN DES RACINES D'UNB ÉQUATION ALGÉBRIQUE. l63
d'où
{•-f- 7)» -4- 2/1 5 -4- imnr^ < o.
Construisons le point A dont les coordonnées sont \ = — 2n et 71 = o ; on voit que Téquation Ç^ + t^^ H- a/i ( Ç H- /wti) = o est celle d'un cercle passant par le point  et Torigine des coordonnées; la tangente à Torigine est d'ailleurs la droite \ + mr[ = o.
D'où la conclusion suivante : Tout cercle passant par les points O et A renferme au moins une racine de l'équation; si, par les divers points racines de l'équation contenus dans ce cercle, on mène des perpendiculaires au diamètre passant par l'origine O, et si l'on considère celle de ces droites qui est la plus éloignée du point O, toutes les racines sont situées d'un même côté de cette droite et dans la région du plan qui contient le point O.
Soit O) le point diamétralement opposé àO sur ce cercle; ce point est situé sur la droite AA' élevée perpendiculairement en A à l'axe des \\ si l'on mène par (o une droite perpendiculaire à Oco, toutes les racines seront a fortiori situées d'un même côté de cette droite; elles sont donc situées dans l'intérieur de la courbe enveloppée par cette droite lorsqu'on fait varier le rayon du cercle, courbe qui n'est autre que la parabole P ayant O pour foyer et AA' pour tangente au sommet.
On peut encore limiter davantage la portion du plan qui contient les racines. Ce sera, si l'Académie veut bien me le permettre, l'objet d'une nouvelle Note, dans laquelle je communiquerai également les résultats auxquels on parvient en appliquant la méthode précédente aux polynômes hypergéométriques F( — /i, p,y,a:), qui satisfont à l'équation difTérentielle du second ordre
3. En conservant les désignations dont j'ai fait usage dans ma Note précédente, considérons un cercle passant par les points O et A et coupant en N la parabole P. La droite menée par N perpendiculairement au diamètre du cercle jouit évidemment de la propriété que toutes les racines de l'équation (i) sont situées d'un même côté de cette droite. Lorsqu'on fait varier le rayon du cercle, cette droite enveloppe une courbe P' passant par le point A et
contenanl toutes les racines; de cette courbe P", on déduira de la même manière une infinité d'autres courbes P", P", . . . jouissant de la même propriété et (jui auront pour limite une courbe ic caractérisée par les conditions suivantes :
1° Elle passe par le point A;
a" Si N désigne un de ses points et si Ton construit le cercle déterminé par les points O, A et N, la langeDte à la courbe au point N est perpendiculaire au diamètre de ce cercle qui passe par le point O,
D'où l'équation différentielle suivante :
dont l'intégrale est, en coordonnées polaires, p^ ~^- .
La constante arbitraire f: se détermine par la condition que la courbe passe par le point A, et l'on voit que l'on doit faire k = o.
D'où la conclusion suivante :
Les racines de réquationy(:c)^ o sont toutes situées en dehors du cercle tracé autour de l'origine avec un rajon égal à {n-\- i), et toutes situées dans l'intérieur de la branche de courbe transcendante que l'on obtient en faisant varier ta depuis — ;: jusqu'à -l-n dans l'équation
4. La méthode précédente s'applique à l'équation dont le premier membre est le polynôme bjpergéométrique
qui satisfait à l'équation linéaire du second ordre
Je considérerai seulement les racines pour lesquelles le coefiGcient de î est nul ou positif, en sorte que, u ^ Ç -{- r, ï désignant une quelconque de ces racines, on ail t| ^ o. Cela posé, en faisant, pour abréger, {ji =; /t — i , on obtient sans peine le Tableau sui-
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vanl, où, en regard des conditions auxquelles satisfont les nombres a et P, j'ai placé les limitations correspondantes relatives à Ç et r,.
p — a < o, [X— [5 < o ^i =Oj touteslesracinessont réelles
a-4-{i<o, fi— p<o idem
aH-{i<o, 3 — a<o idem
P < o, ?« < a* mod» tu > i-^
P < o, P« < a* modtu > i
?<O,P«<0~a-Jx)« „,od« ;;^ > ^-p^i^
?<o,?«>0-a-Hi)« '"o^ ;;;7zr7 > '
a > o, P* > a* mod tu < i
ot > o, 3*< a* inod»tu< '-^
a>o,a«<(? — a— tx)« mod»(tu — i)< ^-^ ^^ ^
a> o. a'Xp — a — fi)* mod (tu — i)<i
p — a-|x>o, pî<(p-a-ji)».... mod^j^i^Wi
?-a-^>o,p«>(?-a-,x)».... mod»(;;^^)<^^f^^^,
P — a — |i>o, a*<(3 — a — fi)' mod(a> — i)> i
P a jx>o, a«>(3-a — fi)».... mod»(tu — i)> (p — « — f^)*
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5. Tels sont les premiers résultats auxquels conduit la méthode exposée ci-dessus relativement aux polynômes hypergéométriques.
Pour obtenir des limitations plus précises, il serait nécessaire de construire et de discuter des courbes du troisième et du quatrième ordre.
Je ferai observer à ce sujet que la méthode proposée est, à proprement parler, une méthode à^exhaitstion, qui permet de limiter
l()6 ALGÈBRE.
de plus en plus la portion du plan occupée par les racines. Dans le cas général, la difficulté des constructions et la complication des calculs bornent bientôt les résultats que Ton peut obtenir^ mais, par une équation particulière, on peut, sans trop de difBcultés, pousser assez loin la limitation cherchée et, au besoin , faire usage de constructions graphiques et d'une épure.
