ÉQUATIONS TRANSCENDANTES
Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences,
t. XCIV; i88a.
1. Les théorèmes de Rolle et de Descartes s'appliquent aux équations transcendantes; mais il n'en est pas ainsi des conséquences si simples, si nombreuses et si importantes que Ton déduit de ces deux propositions, relativement aux équations dont le premier membre est un polynôme entier; elles ne subsistent qu'exceptionnellement.
L'étude des équations cosa: = o et sin:r = o n'a pas appelé l'attention sur ce point : les fonctions transcendantes cosx et sino: jouissent en effet de toutes les propriétés des polynômes entiers; mais il n'en est plus de même quand on considère la fonction holomorphe G(:r), inverse de la fonction T(x) de Legendre et introduite dans l'Analyse par M. Weierstrass.
Dans sa remarquable thèse Sur le développement en séries des intégrales eulériennes, M. Bourguet a donné en particulier le développement de 0{x) suivant les puissances croissantes de x et l'étude de ce développement a révélé des irrégularités singulières tant dans les signes des coefficients que dans leur valeur numérique.
Il semble donc de quelque intérêt d'étudier quelles sont les propriétés élémentaires des équations algébriques qui s'appliquent aux équations transcendantes; et à cet égard je distinguerai les fonctions transcendantes holomorphes, dont les facteurs primaires sont de la forme e*f i j et dont le type général est
Pour abréger, je les appellerai transcendantes du genre un, les
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transcendantes du genre zéro étant celles dont les facteurs primaires ne renferment pas d'exponentielle.
2. Cela posé, en désignant par F(a:) une transcendante du premier genre et en me bornant au cas où l'équation F(j;)^ o a toutes ses racines réelles, j'énoncerai les propositions suivantes :
Toutes les dérivées de F (a:) sont également des transcendantes du premier genre et les équations
ont toutes leurs racines réelles (*).
En désignant par (1) une quantité réelle quelconque, si Ton pose
F(a7 -f-a>i:)= U -H tV,
Téquation )wU -h [J^V = o a, quelles que soient les quantités réelles X et [JL, toutes ses racines réelles.
En désignant par ^o -h a^x -{- a-^x^ + . . . le développement de F(x), on a les inégalités
théorème déjà énoncé par Newton dans le cas où F(a:) est un polynôme entier.
En appliquant cette dernière proposition à la transcendante (j{x) et en désignant par a^^ «2? • * • i ctn les valeurs des coefficients de son développement, on voit que, si
est négatif, a„^^ et a,t s sont affectés de signes contraires. Cette circonstance se présente fréquemment, à cause même des irrégularités que présente la suite des valeurs numériques des coefficients et de là de nombreuses vérifications des Tables calculées par
M. Bourguet, tant pour le développement de G(x) que pour celui
j e^xG{x . , G(x) de ^^ et de - ^— '- .
(') .\r. Ilcrmite avait déjà dcmonlré [Sur rinlégrale eulerienne de deuxième espèce {Journal de Borchardt, l. 90)] <|ue G'(x)— o a toutes ses racines réelles, et sa (témonstralion, qui s'appuie sur la méthode de Plana, s'élend d'elle-même au cas d'une transcendanic quelconque du premier genre. A celte occasion, M. Ilermilc m'a dit tenir de M. Genocclii (juc la métiiode généralement attribuée à Plana a|)partient en réalité à F Chio.
SUR QUELQUES ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. itig
3. En désignant, comme ci-dessus, par F(x)une transcendante du genre un et ayant toutes ses racines réelles, soit
le développement de :p — -
Posons, n étant un nombre entier quelconque,
on démontrera aisément que chacune des équations
a au plus une racine réelle.
En particulier, si n est pair, Téquation o{x)=o a toutes ses racines imaginaires (' ), et par suite rt© et an sont de même signe.
Si Ton pose -^^ — =f(^x), on en déduit que toutes les fonctions
fix), f{x), /"(X), ...
sont de même signe, quelle que soit la valeur réelle attribuée à la variable.
On voit aussi que, dans le développement des diverses fonctions
xT{x), x(x-hi)T(x), x(X'^ï)(x-hi)r(x), x(x -{-i)(x -i- i)(x-^^)T{x), ...,
les coeflicients de toutes les puissances paires de x sont positifs. En posant, avec M. Bourguet,
x(x-{-i)T(x)= Bo-f- Bi^r-h BjiF*-4-.. .,
on en conclut aisément que, pour toutes les valeurs paires de i, les quantités
(*) Il en résulte nécessairement que l'équation a également toutes ses racines imaginaires.
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sonl positives. La même chose n'a pas lieu pour les valeurs impaires de i; les signes des quantités précédentes varient alors d'une façon irrégulière.
Toutes ces quantités tendent du reste très rapidement vers zéro, et Ton déduit de là un moyen de calculer de proche en proche les valeurs approchées des coeflicients.
La relation 6B|g+ 5B|7 4- B|o>> o donne, par exemple, quand on y remplace B17 et Bie par leurs valeurs,
Bu > 0,00000190646; la valeur donnée par M. Bourguet est
Bis = 0,000001 90649.
Les considérations qui précèdent suffisent pour mettre en évidence le rôle important que joue, dans la théorie des équations transcendantes, la notion des facteurs primaires, dont on est redevable à M. Weierstrass.
