FONCTION TRANSCENDANTE ENTIÈRE

Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences ^

t. XCIV; 1882.

1. Un grand nombre de propositions relatives aux équations dont le premier membre est un polynôme entier s'étend au cas où le premier membre est une fonction transcendante entière, lorsque cette transcendante est du genre o ou du genre i (*).

F(^) désignant une fonction de cette espèce, on peut, par exemple, affirmer que deux racines consécutives de Téquation F(j:)=o comprennent une racine de la dérivée et n'en comprennent qu'une; ou, si l'on veut encore, que deux racines de la dérivée comprennent une racine de l'équation proposée et n'en comprennentqu'une;d'oùen particulier cette conséquence : siy en substituant dans F(â:) deux racines consécutives de la dérivée, les résultats obtenus sont de même signe, l'équation F(:r)= o a des racines imaginaires.

Pour démontrer cette proposition, je ferai remarquer, en supposant, pour simplifier, que F(2?)= o ait toutes ses racines réelles sans avoir de racines égales, que la fonction (*)

( * ) Voir ma Note Sur quelques équations transcendantes, insérée dans les Comptes renduSf séance du 23 janvier 1882.

( * ) Plus généralement, F{x) désignant une transcendante du genre zéro ou du genre i, les équations

F(a) + ajrF'(a)-+-F''(a)jr'=o,

F(a)-t- 3arF'(a)-+- 3x'F'(a)H- F''{a)x' = o,

F(a)-^4jrF'(a)-*-6a?'F'(a)-h4F''(a)a;»-hFiT(a)jr*=o,

ont toutes leurs racines réelles, quelle que soit la quantité réelle a^ si F(x)= o a toutes ses racines réelles.

on a donc également

172 ALOKBRE.

a toujours une valeur positive pour une valeur réelle quelconque de X, En désignant par a et ^ deux racines consécutives de

F'(d:)= o, on a

F(a)F"(a)<o et FO)F'(?)<o, d'où

on a du reste, en vertu d'une propriété connue,

F(a)FO)<o, ce qui démontre la propriété énoncée.

2. Considérons Téquation 1 -h^r sinj:r = o, qui a évidemment une infinité de racines réelles; les deux premiers termes du développement du premier membre étant i -H x^ et ces termes présentant une lacune entre deux coefficients positifs, on voit que cette équation a nécessairement aussi des racines imaginaires, si Ton est assuré que le genre de son premier membre ne dépasse pas i .

On voit par ces exemples qu'il peut être de quelque utilité de savoir déterminer le genre d'une fonction transcendante; et, à cet égard, on peut énoncer la proposition suivante :

Si le rapport ■'. ^ > où n désifi'ne un nombre entier, tend

Ders zéro quand z crott indéfiniment, la fonction f{z) est du genre n.

Pour le démontrer, imaginons un contour S entourant l'origine O des coordonnées et tel que, le point M décrivant ce contour, l'angle que fait avec l'axe des x le rayon vecteur OM aille toujours en croissant; soit p la plus petite valeur de ce rayon vecteur et considérons Tintégrale

fiz) dz

'li-i

qui est prise le long de ce contour.

(*) Je tiens de M. Hermite, à qui j'avais communiqué ces résultats, qu'il les avait obtenus de son côté et par la même voie; je signalerai aussi à ce sujet une Note récente de M Mittag-Lefflcr Sur la théorie des fonctions uniformes d'une variable^ insérée dans les Comptes rendus, séance du 20 février 1882.