DU GENRE UN

Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences,

t. XCV; i88a.

Soit ^(ar)= Ao 4- Ai j; -+-•-. + A„j;'» un polynôme enlier du degré n, dans lequel les coefiicients Aq, A|, ..., A„ sont des fonctions du nombre /?. Supposons que, n croissant indéfiniment, ^{x) ait pour limite une série F(:c) convergente pour toutes les valeurs de la variable; supposons en outre que ^(a:)= o ait, pour toute valeur de n, ses racines réelles et de même signe (il suffit même que l'on puisse assigner un nombre/?, tel que cette propriété ait lieu pour toute valeur de n supérieure à/?); je dis que F(:c) est égale au produit d'une fonction entière du genre zéro par une exponentielle de la forme e***^*, où a et 6 désignent des quantités constantes.

Soient, en effet, ai, aa, ..., OLn les racines de l'équation 4>(j:)=: o que je supposerai, par exemple, toutes positives et rangées par ordre de grandeur, en sorte que l'on ait ai^aj^aj, ... ;

on a ^ — = — -r^ ' quantité qui tend vers une limite finie p, et l'on

conclut que, ^i, ^2, ... désignant les racines de F(â:)=o,

\^^ a une limite finie au plus égale à p (•).

(*) Sur ces dénominations %)oir, dans les Comptes rendus, ma Note du a3 jan> vier 1882, Sur quelques équations transcendantes, et le Cours professé à la Sorbonne par M. Hermite en i88i-i88a, p. 73.

(•) Elle peut être moindre; en posant en effet 4»(a:) = (i — ^)(i— ~J a p = 2 et, relativement aux racines de F(jr)= e-'(i — x), > ^ — i.

f on