SUR LES FONCTIONS DU GENRE ZERO ET DU GENRE UN

Posons — -xr — ^= Zj"~r: — ^^> dans le développement, consi-

dérons les termes quî correspondent aux valeurs de a/ inférieures à un nombre fixe arbitraire k\ en désignant par M^^ l'ensemble de ces termes et par R^ les autres termes, on peut écrire

On a

i = * i=k i=k i=ik '

égalité où le dernier membre est une série convergente pour toute valeur de x comprise entre zéro et a^. En désignant par o-^ le

nombre 7 — > on a d'ailleurs

irzk l = *

Pour toute valeur de x positive et plus petite que a^, on en conclut que Ra, qui est plus grand que o-^, est plus petit que — ^^

il est donc de la forme — ^> 0 désignant un nombre compris

entre zéro et un.

\]g- ayant une limite finie, il existe une fonction entière du

genre zéro, Go(x), qui a pour racines les quantités ^09 (^d • • •* que je supposerai rangées par ordre croissant de grandeur; posons

et distinguons dans ce développement Tensemble des fractions par lesquelles p/ est <; A *, j'appellerai P^ l'ensemble de ces fractions. (^la posé, il est clair que si, dans l'égalité (1), on fait croître n

indéfiniment, le premier membre a pour limite — =r7 — ; et que M/^

a pour limite Pa, Ra ayant pour limite une fonction R'^ qui est, comme R^, de la forme — ^ » où 0 désigne un nombre compris

entre zéro et un et 7]^ la limite de o-^ quand n croît indéfiniment. On a donc l'égalité

= Pa-^-R'^;

faisons maintenant croître indéfiniment le nombre positif /:; par

définition, P^ a pour limite

Go(ar) Go(:r)

et R)^ a pour limite la limite de o-]^, laquelle est un nombre positif finio-; on a donc

F'(x) GUx) b\x) Go(:r)"^ '

d'où, en intégrant,

F(x)=e-^^-^Go(x).

Cette égalité, étant vérifiée pour toutes les valeurs positives inférieures au nombre a^, qui peut être rendu aussi grand que l'on veut, subsiste pour toutes les valeurs de X] ce qui démontre la proposition énoncée.

En particulier, on fait voir aisément que, si l'équation

a toutes ses racines réelles et de même signe, il en est de même de l'équation

«oH- qaix -\- q^afX^-h, . .-h q^^anX^= o,

lorsque y est un nombre plus petit, en valeur absolue, que l'unité. 11 en résulte qu'en posant

*,.,= , .„,(^)-.'.iI^-,.(î)V....,.,(i)",

l'équation <t>{x) = o a toulcs ses racines réelles et de même signe.