SUR LE GENRE DE QUELQUES PONCTIONS ENTIÈRES
cette équation, mise sous forme entière, est du degré
dlle a (m — i) racines réelles respectivement comprises entre 1^^ nombres ai et as, 0.2 et ol^, ol^ et aL^, . . . , et qui, quelle que soit Isk ^^^aleur attribuée au nombre entier m, demeurent comprises des limites parfaitement déterminées; ces racines, je les déerai par les lettres
Tl» ï»> Ï3> '"1 ïm-l'
es k -h n autres racines peuvent être réelles ou imaginaires, la valeur de leur module peut croître indéGniment avec le bre m; elles sont essentiellement en nombre limité, et je les |[Derai par les lettres
n a donc, en désignant par A;„ un nombre dépendant du bre entier m,
*»(x)=A„n(-^)ii('-ï)
k-hn
de
c facteur I 1 f i — y) ^ pour limite un polynôme^entierW(j;),
t le degré est au plus (k-hn)-^ il peut être d'un degré
xidre, si plusieurs valeurs de S/ croissent indéfiniment aveo le bre m.
n aura donc
^^> comme chacune des quantités ^i demeure comprise, quel ^Ue soit le nombre entier m, entre deux limites déterminées, ^ «st clair que la limite du produit
est une fonction entière du genre n.
l8o ALGEBRE.
D'où celle conclusion imporlanle :
La dérivée F'{x) esl une fonclion enlière du genre n.
2. L'équalion ^m{^)= o ajanl au plus Ar-f-zi racines imaginaires, on voil, à la limile, que Téqualion
a égalemenl, au plus, k '■\' n racines imaginaires; ce nombre étant essentiellemenl limité, il en résulte que F''j(:r), F'"( j;), . • • , et en général toutes les dérivées de F[x) sont du genre n.
La démonstration précédente suppose expressément que le nombre des racines imaginaires de Téquation F{x)= o est limité; il est probable, toutefois, que le théorème subsiste encore, même dans le cas où elle a une infînité de racines imaginaires; mais, jusqu'à présent, je n'ai pas réussi à en obtenir une démonstration rigoureuse.
3. On établirait, comme ci-dessus, la proposition plus générale qui suit :
F(:r) désignant une /onction entière du genre n, n'admettant qu^un nombre limité de facteurs imaginaires, la fonction suivante :
So F(a7)-+- e, F'{x)-hSi F'(ar)-4-. . .-^ e^ F(A>ir,
oà h désigne un nombre entier quelconque, et B©» ^i? • • •? ®a des polynômes entiers à coefficients réels ou imaginaires y est une fonction entière du genre n.
SUR LES
