Étant donné le polynôme entier

F(a7) = a-h bx -h cx^-h dx^-^ ex^

l83 ALGEBRE.

et deux nombres positifs Ç et r,, où je suppose rj > Ç, formons la suite des nombres

F, = a H- ÔTj -+- cÇïj H- rfÇ'ij 4- «î'ï), F, = a-4-6ïj -f-CTj*-hrfTj» 4-cJi)',

F4= a -4- ÔTJ -f- C7)«-f- rfï)* H-^TQ*,

dont la loi de formation est évidente.

Cela posé, la valeur du polynôme F(œ) demeure, lorsque x varie depuis ^jusqu'à t;, constamment comprise entre la plus petite et la plus grande des quantités Fq, F|, F2, F3 et F4 ; j'ajoute que le nombre des racines de Téquation F(x)= o, qui sont comprises entre Ç et 7;, est au plus égal au nombre des variations de la suite

Fo» Fi, F», Fj» F*»

En général, soit le polynôme entier

formons, par voie récurrente, les quantités suivantes :

Qo = «o, Qi = Qoî-+-«ir Qî-+-Qi5 = «î, .., Q/» = Q/»-i Ç -4- a» et

Po=p,-f-(T)-0^''-*Qo;

en supposant Ç et ?; positifs et tj > Ç, on peut énoncer les deux propositions suivantes :

Le nombre des racines de C équation F(:r)= o qui sont comprises entre \ et Tj est au plus égal au nombre des variations de la suite

Po> Pi» Pjî •••» P/l-l> Pfl

et la valeur du polynôme F(j:), quand x varie depuis \ jusqu^à 7j, demeure constamment comprise entre la plus petite et la plus grande des quantités P/.

Soit, par exemple,

F(a?)= ars— 2J7*-h J73 3a7î f. ^a? — a;

SUR LES VALEURS QUE PREND UN POLYNOME ENTIER. i83

si l'on pose S = i et ri = 2, on aura le Tableau suivant :

Coefficients de réquation .. . i — 2 -4-1 3 -4-4 — a

Valeurs des Q/ i — i o — 3 -hi — 1

Valeurs des P/ 2 — 14 — 6 —6 o — i

d'où il résulte que l'équation F{x)=> o a une seule racine comprise entre i et 2 et que la valeur de ce polynôme, quand x varie depuis I jusqu'à 2, demeure comprise entre les nombres — 1 4 et -h 2^ la règle de Cauchy donne les limites — 4o et -f- 4i • En considérant encore le même polynôme, faisons Ç = 2 et 7) r= 3, nous aurons le Tableau suivant :

-t-io