SUR QUELQUES POINTS
DE LA
Acta mathematica , t. IV; 1884.
1. Dans tout ce qui suit, à moins que je n'en avertisse expressément, je désigne par Ç un nombre positif ou nul et par t^ un nombre quelconque supérieur à Ç.
Cela posé, en considérant le polynôme entier du degré n
j'y rattacherai le polynôme du même degré ^ (x) défini par l'égalité suivante
En posant, pour abréger,
^{x) = PqX^ -+- P,a7'»-» -h P,a:«-« -4- ... -h P;»-iap -+- P»,
il est aisé de déterminer les coefficients P/. Si, par exemple, on fait
f{x) = aox^ -^ ai a?* -f- a^x ■+- a^, un calcul facile donne
Po = a© r^^ -h cil r^^ H- «j t) -+- a j , Pi = ao{r^* -+- ai r,* -h ajTj -h as, Pj = ao5*7) -+- ai Çy) -+- ajTî -h «3, P3 = «o{^ -+-aiÇ* -i-ajÇ-+-a3.
La loi de formation de ces coefficients est évidente et s'étend aise-
SUR QUELQUES POINTS DE LA THÉORIE DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. ' l85
ment au cas d^un polynôme d'un degré quelconque ; les coefficients extrêmes sont/(7i) et/(i).
2. Le calcul des nombres P/ s'effectue de la façon la plus simple parla méthode suivante : que l'on forme d'abord, et par voie récurrente, une suite de nombres Q/ déterminés par les relations
les nombres P| seront donnés par les égalités
P» = Q», P„-, = P«-+-(Ti-OQ«-i, P«-i = Pi.-i-+-'î('î-OQi»-î, ...,
Po=p,-+-7)«-i(7î-OQo.
3. La propriété fondamentale du polynôme ^(^) peut s'énoncer ainsi :
Le nombre des racines de V équation f{x) = o, qui sont comprises entre les quantités Ç et 7\, est au plus égal au nombre des variations du polynôme if{x)^ et, si ces deux nombres diffèrent, leur différence est au nombre pair.
Pour la démontrer, je remarque que, de l'égalité (i), on déduit
Pour toutes les valeurs de x comprises entre - et l'unité,
est développable en une série convergente ordonnée suivant
les puissances croissantes de x^ et — — > développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances décroissantes de x. Effectuant ces développements, on a l'égalité
Ti X ri* x^
la série double qui compose le second membre est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre - et l'unité, et le
nombre de ces valeurs, pour lesquelles elle s'anoule, est évidemment égal au nombre m des racines de l'équation /"( a? ) = o qui sont comprises entre Ç et r\. D'où il suit que ce nombre m est au plus égal au nombre des variations que présentent les termes de la série; ce nombre des variations se réduit d'ailleurs au nombre des variations du polynôme ^{x). Il suffit pour le faire voir de remarquer que, le premier terme de ^{x) étant f{y\)'X'^^ son coefBcient est le même que celui de tous les termes précédents et que le dernier terme étant /(Ç), il est de même signe que tous les termes qui suivent. De là résulte immédiatement la proposition que je voulais démontrer.
