Soit, comme application, l'équation
(2) x^ — 237* H- i» — Sx' -+- 4^7 — 2 = 0.
En posant Ç = o et 7) = i , on formera le tableau suivant :
Valeurs des coefficients.. . -+-i — 2 -+-i — 3 -+-4 — *
Valeurs des Q,- 4-1 — 2 -+-i — 3 H-4 — ^
Valeurs des P/ — i — 2 o — i -H2 — 2,
d'où l'on conclut, puisque la suite des P/ présente deux variations, que Téquation (2) a au plus deux racines comprises entre zéro et -H 1.
Faisant maintenant Ç = i et 7; = 2, on a ce tableau :
la suite des P/ présentant une seule variation, on voit que l'équation a une seule racine comprise entre -h i et -|- 2. En faisant $ =: 2 et 7\ = 3, on a les suites
la dernière ne renfermant aucune variation, on en conclut que l'équation n'a pas de racine comprise entre 4- 2 et 4- 3.
Pour Ç = 3 et Yi = 4) on a le tableau suivant :
CoefGcîents,
il est inutile ici de calculer les valeurs des P/ : j'ai en effet démontré (*) que le nombre des racines supérieures à Ç est au plus égal au nombre des variations que présente la suite des nombres Qi; et cette suite, pour Ç = 3, ne présentant aucune variation, il est clair que l'équation proposée n'a aucune racine supérieure à 3.
5. L'équation (2) a donc une racine comprise entre -h i et -l-Qt; elle n'a aucune racine supérieure à 4- 2 ni aucune racine négative, puisque son premier membre ne présente que des variations.
L'intervalle compris entre* zéro et -f-i peut contenir deux racines, ou n'en contenir aucune. Pour résoudre la question, je remarque que le nombre des racines de l'équation proposée, qui sont comprises entre zéro et 4- i, est égal au nombre des racines de l'équation
237* — 4^* -H 3ar* — a?* -+-237— 1 = 0,
qui sont supérieures à celles de l'unité.
Formons, en suivant la méthode que j'ai indiquée dans le Mémoire cité précédemment {Théorie des équations numériques, p. 1 i6)y le tableau suivant :
les nombres
qui forment le contour extérieur du tableau n'offrant aucune variation^ il en résulte que l'équation proposée n'a aucune racine
(•) Mémoire sur la théorie des équations numériques {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3* série, t. IX, p. io5).
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comprise entre zéro et l'unité; elle a ainsi une seule racine cornprise entre H- I et -f- 2.
6. Soient P©, P^ ..•, P/i les coefficients du polynôme ^{x); en désignant respectivement par R et par S le plus grand et le plus petit de ces nombres, considérons Téquation
Les quantités, analogues à Pq, Pi, . . ., P/i, sont dans ce cas
R — pQ, R — Pf, •••» R — P/ij
et il est clair qu'elles sont toutes positives ou nulles. L'équation (i) n'a donc aucune racine comprise entre Ç el7i et son premier membre conserve toujours le même signe quand a: varie depuis Ç jusqu'à vj, à savoir le signe -4-; pour toute valeur de Xj comprise entre Ç et vj, on a donc
On prouverait d'une façon analogue que, pour les ménves valeurs,
on a
d'où cette conclusion importante :
Lorsque x prend toutes les valeurs possibles comprises entre les nombres $ et y|, la valeur du polynôme y*(^) demeure constamment comprise entre les nombres R et S.
