Soit, comme application, le polynôme

f(x) = x^ — ix^ -h x^ — 3a:* -f- 4ar — 7.

que j'ai déjà considéré plus haut.

On voit que, quand x varie de zéro à -}- 1 , le polynôme prend des valeurs comprises entre les nombres — 2 et -f- 2 ; la règle de Cauchy donne des limites — 7 et -h 6. Quand x varie de -4- i à

2, la règle énoncée ci-dessus donne les limites — i4 et -Ha, la règle de Cauchy les limites — 4o et 4- 4 1 *, enfin, dans l'intervalle compris entre + a et -4- 3, la règle de Cauchy donne des limites — 1 43 et -4- 236, l'autre règle les limites bien plus resserrées -h I et -h 91.

8. Il est moins aisé de déterminer des limites un peu précises, entre lesquelles demeurent comprises les valeurs que prend

une fonction rationnelle -7:^ — y lorsque x varie dans l'intervalle

Voici cependant une solution assez simple, mais limitée au cas où relativement à l'un des termes de la fraction, au poljnômey(a:) par exemple, les nombres P/ ont tous le même signe.

Soient

ces divers nombres, et

Do, 111 , . . . , U„

les nombres correspondants relativement au polynôme ç(^); je suppose les deux polynômes du même deçré, ce que l'on peut toujours admettre en introduisant au besoin un certain nombre de coefficients nuls.

Cela posé, en s'appuyant sur les considérations développées plus haut, on démontrera aisément que, lorsque x varie dans

l'intervalle (Ç . • . t;), la valeur que prend la fraction •jt"^^ demeure

constamment comprise entre le plus grand et le plus petit des nombres

Do n, n«

Fo Pi P»

Considérons, par exemple, et en supposant g = 2 et yi = 3, la fraction

ix^ — 5ar' -4- 227* — 3 jr — 5

a?* — loc^ -4-27* — 3a?* -^ l^x — 2' on a

Po = 9i, P, = P, = io, Ps^i. P4 = 4 et Pb = 2.

igO ALGÈBRE.

Le tableau suivant donnera la valeur des 11/

Coefficienls o -h 2 — 5 -+-2 — 3 — 5

Q/ o H-2 — 1 o — 3 — Il

D/ -4-3i -+-3i —23 —14 — i4 —II

Si maintenant nous formons les fractions

nous voyons que la plus petite d'entre elles est — 1 4 et la plus

grande — ; on en conclut que, quand x varie depuis 4- 2 jusqu'à

-f- 3, la valeur de la fraction demeure comprise entre les limites — 1 4 et -h 3, 1.

9. Soit/> un nombre entier positif quelconque, mais supérieur à (/i -h 1) ; dans le développement en série de l'expression

considérons seulement les termes dont les exposants sont compris entre les limites/) et — />, nous obtiendrons ainsi un polynôme Sp{x) dont la valeur est donnée par l'égalité

e^ = Pqxp -h ... -h Poa7«+»

-h PoX« -+- P,a:«-» -¥- P, j:«-ï -h. . .-h P„-,a7« -+- P„,:r -f- P«

y\ X T]P xP

Lorsque le nombre/? croît indéfiniment, Sp a pour limite une série indéfinie S qui, pour toutes les valeurs de x comprises

entre - et i , a la même valeur que la fraction

(S — TQ)^/(3^y,) .

(ar-i)(a:Yi-5)'

d'où résulte, en désignant par m le nombre des racines de l'équation y*(;r) = o qui sont comprises entre Ç et tj, que la série S est convergente et s'annule pour m valeurs de la variable.

Cherchons d'abord une limite supérieure du nombre des racines positives de Téquation 8^ r= o ; une pareille limite est donnée immédiatement par le nombre des variations de 0^, qui se réduit à celui des variations de ^{oo). Mais on peut obtenir une limite plus précise en faisant usage d*une proposition importante due à Newton.

Au-dessous de la suite des termes de Sp{x), où se peuvent trouver des variations, à savoir les termes

*0> *lj ■!» •••> »/l— Il ' «— 1 > ' /» »

écrivons les termes de la suite

PJ — PoPi, P? — pQptî P} — PoPi, •••» PJ-î — P/r-3Prt-ii PJ-i — P/iP/i-«» PJ — P/iPrt-i -■>

nous obtiendrons le tableau suivant :

Po> »l> ■!» •••1 Pn— î P«— Il Pu»

-+-1, P\ — PoPî» P| — PoP|» •••» PJ-î — Pit-3P»-1) PJ-i — Pn-«P»» -+-ï|

OÙ j'ai remplacé les termes extrêmes de la seconde ligne -h i, attendu que, quand P© et P, sont de signe contraire, P© — PqPi

est positif et que, de même, P,^ — - P/iP/i« est positif quand les

termes P^ et P/i«« présentent une variation.

Cela posé, il suit du théorème de Newton que le nombre q des racines positives de l'équation Sp = o est au plus égal au nombre V© des variations de la suite supérieure du tableau (A), qui correspondent à des permanences dans la suite inférieure.

Ce nombre q est, on le voit, indépendant de la valeur attribuée au nombre entier/? et sa valeur demeure la même quand p croît indéfiniment; on en conclut que le nombre m, qui représente le nombre des valeurs positives de x, pour lesquelles la série S converge vers zéro, est au plus égal à q.

D'où la proposition suivante :

Si Von forme le tableau (A), le nombre des racines de Inéquation f{x) = o, qui sont comprises entre Ç et y^, est au plus égal au nombre des variations présentées par la ligne

193 ALOiBRE.

supérieure du tableau et auxquelles correspondent des permanences dans la ligne inférieure.

Soit, comme application, Téquation

(i) a?» — Sar'-f-gar* — iia?-f-5 = o;

cherchons le nombre des racines comprises entre Ç = i et r, = 2. Les valeurs des nombres P/ s'obtiennent en formant le tableau suivant :

-t- I O —3 -r- 9 —Il -h 5

H- 27 -+-II -h3 H-II — 3 -4-1,

et le tableau (A) devient