hii -+-3 -+-11 — 3 -hi
Dans la ligne inférieure, je n'ai indiqué les signes des termes que quand ils correspondent à des variations; on voit qu'il n'j a dans la ligne supérieure aucune variation à laquelle corresponde une permanence dans la ligne inférieure, d'où il suit que l'équation proposée n'a aucune racine comprise entre -+- i et -h 2.
On arriverait à la même conclusion en employant la méthode suivante, qui trouve fréquemment d'utiles applications.
L'équation peut se mettre sous la forme
( jr* -4- x' — ix^ -^7^ — 4)(^ — i)-}-i = o et, par suite, peut s'écrire
or — I —
or* -+- X* — ix* -h yx — 4
Cherchons des limites entre lesquelles varie le polynôme dénominateur lorsque x varie de -h i à 4- 2; en appliquant la méthode indiquée plus haut, on formera le tableau
-4-1 -hi — 2 -hy — 4
Il suffit ici de calculer les valeurs des nombres Q,; ceux-ci étant en effet positifs, il est clair que les P/ seront également tous positifs et, par suite, le dénominateur demeure positif quand x varie dans les limites indiquées.
SUR QUELQUES POINTS DE LA THÉORIE DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. KjZ
Il en résuite que le second membre de Tégalité (2) est toujours inférieur à l'unité; il ne peut donc jamais être compris entre 4- 1 et H- 2 et Ton voit, comme nous l'avions reconnu précédemment, que Téquation (1) n'a aucune racine dans cet intervalle.
10. La proposition, énoncée dans le premier paragraphe, peut encore être démontrée par une autre méthode qui donne lieu à quelques conséquences intéressantes.
En désignant par ç et tj deux nombres quelconques positifs ou négatif Sy soient /(a:) un polynôme entier du degré n et ^(^) le polynôme déterminé par la relation
Appelons ^i (J^) ce que devient ^(^) quand on remplace /(jr) par (a: — )w); on a évidemment
. ^/(XTl)(X71-X)-/(0(^-X)
anfî — {
d^où, par un calcul facile,
On voit que i(x (a:) et le produit i({x) (^xt\ — a) ne diffèrent que par leurs termes extrêmes; les coefficients de ^r''"^* étant respecûvcment [puisque /(Tri) = Po et/(Ç) = P„] Pj,(tj — À) et PqT,, les termes constants étant respectivement ($ — \) 1\ et — aP„.
Si donc le nombre X satisfait aux conditions suivantes
le polynôme '!'<(^) présente précisément autant de variations que le produit ^(^)(j;7ï — X). D'où il suit, en vertu du lemnie de Segner, que, si t^X est positif, '\\{j^^ a au moins une variation de plus que '{'(x), et que, si /j A est négatif, i, ( — x) a au moins une variation de plus que •!»( — j^).
iq'i .vlgèbre.
On peut donc énoncer les propositions suivantes :
L'équation tJ;(x) = o a au moins autant de variations que V équation f{x) = o a de racines réelles X satisfaisant aux inégalités
(I) Xr,>o, r,(r, — X)>o, X(X-0>O.
La transformée ^{ — x) a au moins autant de variations que Inéquation f{x)=z o a de racines réelles X satisfaisant aux inégalités
(a) Xt,<o, r,(r,-X)>o, X(X-0>o.
11. Supposons par exemple Ç et yj positifs et yj > Ç, les inégalités (i) sont satisfaites pour toutes les racines comprises entre Ç et 7|. D'où la proposition que j'ai démontrée au commencement de ce Mémoire.
Supposons maintenant que Ç et tj soient des nombres positifs quelconques, les inégalités (2) sont vérifiées pour toutes les racines négatives; d'où cette conclusion :
Quels que soient les nombres positifs Ç et yj, le nombre des racines négatives de V équation f{x) = o est au plus égal au nombre des variations du polynôme ^{ — x).
Dans le cas particulier où, Ç et yj étant positifs, r, est plus grand que $, on voit que, si toutes les racines de réquation sont réelles et si toutes les racines positives sont comprises entre $ et Y|, le nombre des variations de '^{x) est précisément égal au nombre des racines positives et le nombre des variations de ^ ( — x) égal au nombre des racines négatives.
